Lý thuyết đại cương về phương trình hay, chi tiết

Khái niệm phương trình

1. Phương trình một ẩn

 Phương trình ẩn 

x

 là mệnh đề chứa biến có dạng

Phương trình ẩnlà mệnh đề chứa biến có dạng

f(x)=g(x) (1)

Trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là vế phải của phương trình (1).

 Nếu có số thực 

x

 sao cho 

f

(

x

)

=

g

(

x

)

 là mệnh đề đúng thì 

x

 được gọi là một nghiệm của phương trình (1).

Nếu có số thựcsao cholà mệnh đề đúng thìđược gọi là một nghiệm của phương trình (1).

 Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).

Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).

 Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).

2. Điều kiện của một phương trình

Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).

 Điều kiện xác định của phương trình hay điều kiện của phương trình là  điều kiện của 

x

 để 

f

(

x

)

 và 

g

(

x

)

 có nghĩa, tức là, mọi phép toán đều có thể thực hiện được.
 Khi các phép toán ở hai vế của một phương trình đều thực hiện được với mọi giá trị của 

x

 thì ta có thể không ghi điều kiện của phương trình.

Điều kiện xác định của phương trình hay điều kiện của phương trình là điều kiện củađểvàcó nghĩa, tức là, mọi phép toán đều có thể thực hiện được.Khi các phép toán ở hai vế của một phương trình đều thực hiện được với mọi giá trị củathì ta có thể không ghi điều kiện của phương trình.

Ví dụ:

Tìm điều kiện xác định của phương trình: 1x−3+22x−1=2.

Giải

ĐKXĐ: x−3≠0 và 2x−1≠0

⇔ x≠3 và x≠12.

3. Phương trình nhiều ẩn

 Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số.

Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số.

Ví dụ:

3x+2y=x2−2xy+8 (2)

4×2−xy+2z=3z2+2xz+y2 (3)

Phương tình (2) là phương trình hai ẩn (x và y), còn (3) là phương trình ba ẩn (x,y và z).

Khi x=2,y=1 thì hai vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp số (x,y)=(2,1) là một nghiệm của phương trình (2).

Tương tự, bộ ba số (x;y;z)=(−1;1;2) là một nghiệm của phương trình (3).

4. Phương trình chứa tham số

 Trong một phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò là ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.

Trong một phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò là ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.

 Giải và biện luận phương trình chưa tham số là xét xem với giá trị nào của tham số phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó.

Giải và biện luận phương trình chưa tham số là xét xem với giá trị nào của tham số phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó.

Ví dụ: (m−1)x2+3mx+5=0, là phương trình ẩn x chưa tham số m

Phương trình tương đương và phương trình hệ quả

1. Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương với nhau khi chúng có cùng tập nghiệm.

Ví dụ: Hai phương trình 2x+1=0 và phương trình x+12=0 có cùng có nghiệm duy nhất x=−12=0 nên hai phương trình tương đương.

2. Phép biến đổi tương đương

 Để giải một phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy gọi là các phép biến đổi tương đương.

Để giải một phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy gọi là các phép biến đổi tương đương.

 Định lý:

• Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương.

a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

 Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.

Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.

 Kí hiệu: Ta dùng kí hiệu “⇔” để chỉ sự tương đương của các phương trình.

3. Phương trình hệ quả

Ta dùng kí hiệu “⇔” để chỉ sự tương đương của các phương trình.

 Nếu mọi nghiệm của phương trình 

f

(

x

)

=

g

(

x

)

 đều là nghiệm của phương trình 

f

1

(

x

)

=

g

1

(

x

)

 thì phương trình 

f

1

(

x

)

=

g

1

(

x

)

 được gọi là phương trình hệ quả của phương trình 

f

(

x

)

=

g

(

x

)

.

Nếu mọi nghiệm của phương trìnhđều là nghiệm của phương trìnhthì phương trìnhđược gọi là phương trình hệ quả của phương trình

 Ta viết

Ta viết

f(x)=g(x) ⇒ f1(x)=g1(x)

 Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.

 Ví dụ: Giải phương trình: 

x

+

3

x

(

x

−

1

)

+

3

x

=

2

−

x

x

−

1

 (4)

Giải phương trình:(4)

Giải

Điều kiện của phương trình (4) là: {x≠0x≠1

Nhân hai vế của phương trình (4) với x(x−1) ta đưa tới phương trình hệ quả

(4) ⇒x+3+3(x−1)=x(2−x)

⇒x2+2x=0

⇒x(x+2)=0⇒{x=0x=−2

Ta thấy, x=0 không thỏa mãn điều kiện của phương trình (4), nên là nghiệm ngoại lai. Còn x=−2 thỏa mãn điều kiện và là một nghiệm của phương trình (4).

Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất là x=−2.

Trên là những kiến thức các bạn học sinh cần nắm vững về đại cương về phương trình.

Xem thêm: