Giáo Dục

Dấu của tam thức bậc hai cơ bản và nâng cao

Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng ax2+bx+c trong đó a, b, c là những số cho trước với a khác 0

Nghiệm của phương trình ax2+bx+c = 0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai.

f (x) = ax2+bx+c 

với ∆=b2-4ac (biệt thức của tam thức bậc hai f(x) = ax2+bx+c

và ∆’=b’2-ac (biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f(x) = ax2+bx+c.

Ví dụ: Hãy cho biết có bao nhiêu tam thức bậc hai

  1. f (x) = x2x-2
  2. f (x) = x2-4
  3. f (x) = x-3x-7
  4. f (x) = x-52

Đáp án: 3 tam thức bậc hai

Định lý tam thức bậc hai

voh.com.vn-dau-cua-tam-thuc-bac-2-1

Định lý tam thức bậc hai (Nguồn: Internet)

Cho f (x) =  ax2+bx+c (a khác 0)

kí hiệu x1, x2 là nghiệm của f (x) = 0 ta có

S = x1+x2=-ba

P = x1.x2=ca

  1. Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai

Ta có mẹo ghi nhớ “Trong trái, ngoài cùng” (nghĩa là trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với a, còn bên ngoài hai nghiệm thì cùng dấu với a)

∆<0→a.fx>0 với ∀x∈R∆=0→a.fx>0 với ∀x≠-ba hoặc a.fx≥0 với∀x∈R∆>0 thì fx có 2 nghiệm:

  • Với mọi x nằm trong khoảng hai nghiệm thì f (x) trái dấu với a
  • Với mọi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm thì f (x) cùng dấu với a

BẢNG XÉT DẤU TAM THỨC BẬC HAI

Dấu của biệt thức

Dấu của f(x)

∆<0

afx>0, ∀x∈R

∆=0

afx≥0, ∀x∈R

∆>0

Phương trình fx=0 có 2 nghiệm x1

afx>0,∀x∈-∞; x1∪x2; +∞

afx<0,∀x∈x1;x2

 

  • Cách xét dấu của tam thức bậc hai:

Bước 1: Tính∆, bấm máy tính và tìm hai nghiệm của tam thức bậc hai

Bước 2: Dựa vào hệ số a và lập bảng xét dấu (trong trái ngoài cùng)

Bước 3: Tiến hành xét dấu của bảng và đưa ra kết luận

fx=ax2+bx+c,a≠0

∆<0

afx>0,∀x∈R

∆=0

afx>0,∀x∈R∖-b2a

∆>0

Xem thêm :  Tìm hiểu các loại danh từ chỉ sự vật là gì ? sự vật nghĩa là gì

afx>0,∀x∈-∞;x1∪x2;+∞

afx<0,∀x∈x1;x2

 

  1. Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai

Cho f (x) =  ax2+bx+c (a khác 0). Nếu có số α thỏa mãn a. f (α) < 0 thì f (x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và x1<α

Hệ quả

  1. a. f (x) < 0 ⇔∆>0 và x1<α
  2. a. f (x) = 0 ⇔αlà nghiệm của f (x)
  3. a. f (α) > 0 và ∆>0⇒α∉x1;x2

αα

x1

Một số bài toán áp dụng

Bài toán 1: Cho tam thức bậc hai sau và tiến hành xét dấu:

f (x) = 3×2+2x-5

ta có ∆=b2-4ac=22-4.3.-5=27>0

→ phương trình f (x) = 0 có hai nghiệm

x1=-53×2=1

Lập bảng xét dấu: “Trong trái ngoài cùng”

x
-∞
-53
 
1
+∞

f(x)
+
0

0
+

Như vậy:

f (x) < 0 → x ∈-53;1

f (x) > 0 → x ∈-∞;-53∪1;+∞

Bài toán 2:  Xét dấu các tam thức bậc hai:

a) 5×2-3x+1

b) -2×2+3x+5

c) x2+12x+36

d) (2x – 3)(x + 5)

Hướng dẫn

a) Tam thức f(x) = 5×2-3x+1 có Δ = 9 – 20 = –11 < 0 nên f(x) cùng dấu với hệ số a.

Mà a = 5 > 0

Do đó f(x) > 0 với ∀ x ∈ R.

b) Tam thức f(x) = -2×2+3x+5 có Δ = 9 + 40 = 49 > 0.

Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1=-1; x2=52, hệ số a = –2 < 0

Ta có bảng xét dấu sau

x

-∞

-1
 
52
+∞

f(x)

0
+
0

Như vậy f(x) > 0 khi x ∈ (–1; 52)

f(x) = 0 khi x = –1 ; x = 52

f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; –1) ∪ (52; +∞)

c) Tam thức f(x) = x2+12x+36 có một nghiệm là x = –6, hệ số a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu sau

 

x

-∞
-6
+∞

f (x)

+
0
+

Như vậy f(x) > 0 với ∀ x ≠ –6

f(x) = 0 khi x = –6

d) f(x) = (2x – 3)(x + 5) = 2×2+ 7x – 15

Tam thức f(x) = 2×2 + 7x – 15 có hai nghiệm phân biệt x1=32; x2=-5, hệ số a = 2 > 0.

Xem thêm :  Sự khác biệt với đoạn mạch song song là gì?

Ta có bảng xét dấu sau

x

-∞

-5
 
32
+∞

f (x)

+

0

0
+

 

Như vậy f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –5) ∪ (32; +∞)

f(x) = 0 khi x = –5 ; x = 32

f(x) < 0 khi x ∈ (–5; 32)

Một số bài tập tự áp dụng để rèn luyện

Bài 1: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm: f (x) = mx2+ (m – 1)x + 3 – 4m = 0 và thoả mãn x1<2

Đáp án: phương trình có hai nghiệm thoả mãn x1<2

Bài 2: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm: f (x) = x2– 2mx + m = 0 và thoả mãn x1, x2 thuộc (-1;3)

Đáp án: -13 <_m3c_0 _hoe1bab7_c="">95

Bài 3: Tìm m sao cho f (x)= 2×2- 2(m + 1)x + 2m + 1 > 0 ∀x ∈ R

Đáp án: 1 –  2 < m < 1 + 2

Bài 4: Tìm m sao cho f (x)= (m-1)x2- (m – 1)x + 1- 2m ≤ 0 ∀x ∈ R

Đáp án: 59≤m≤1

Trên đây là những công thức dấu của tam thức bậc hai và một số bài tập ví dụ, đây là kiến thức vô cùng căn bản được học sau bài học cách giải phương trình bậc hai nằm trong chuyên đề về hàm số. Các bạn nên chăm chỉ thực hành mỗi ngày để nắm chắc các quy tắc nhé!

Cách tìm điểm uốn đồ thị hàm số : Những kiến thức cơ bản cần nhớ về điểm uốn đồ thị hàm số. Kèm theo là những ví dụ chi tiết.

Những kiến thức cơ bản cần nhớ về điểm uốn đồ thị hàm số. Kèm theo là những ví dụ chi tiết.

Công thức tính tích phân và những điều bạn nhất định phải ghi nhớ : Công thức tính tích phân là phần kiến thức quan trọng. Ghi nhớ các công thức tính tích phân để giải toán dễ dàng hơn.

Xem thêm :  Điện trở suất là gì – công thức – bảng tra cứu – cách đo

Công thức tính tích phân là phần kiến thức quan trọng. Ghi nhớ các công thức tính tích phân để giải toán dễ dàng hơn.


Dấu của tam thức bậc hai – Bài 5 – Toán học 10 – Thầy Lê Thành Đạt (HAY NHẤT)


? Đăng ký khóa học của thầy cô VietJack giá từ 250k tại: https://bit.ly/30CPP9X.
?Tải app VietJack để xem các bài giảng khác của thầy cô. Link tải: https://vietjack.onelink.me/hJSB/30701ef0
☎️ Hotline hỗ trợ: 084 283 4585
Toán học 10 Bài 5 Dấu của tam thức bậc hai
Dấu của tam thức bậc hai là bài học quan trọng trong chương trình Toán học 10. Trong bài giảng này, thầy sẽ giúp các em tìm hiểu tất cả các lý thuyết trọng tâm nhất bài học. Từ đó, các em sẽ giải các dạng bài tập từ cơ bản nhất đến nâng cao. Các em chú ý theo dõi bài học cùng thầy nhé !
Đăng kí mua khóa học của VietJack tại: https://m.me/hoc.cung.vietjack
Học trực tuyến tại: https://khoahoc.vietjack.com/
Fanpage: https://www.facebook.com/hoc.cung.vietjack/
vietjack, toan10, bai5
▶ Danh sách các bài học môn Toán học 10 Thầy Lê Thành Đạt:
https://www.youtube.com/playlist?list=PLOVaCZ_HQkvc7PyQ2JJ8DILA2FMdB5Wbv
▶ Danh sách các bài học môn Sinh học 10 Cô Nguyễn Thị Hoài Thu:
https://www.youtube.com/playlist?list=PLOVaCZ_HQkvf1TCEDtT33qpRC1_rke5pb
▶ Danh sách các bài học môn Vật lý 10 Cô Nguyễn Quyên:
https://www.youtube.com/playlist?list=PLOVaCZ_HQkvejV26PPtl0Hn_xt_3zfs9C
▶ Danh sách các bài học môn Ngữ văn 10 Cô Trương Khánh Linh:
https://www.youtube.com/playlist?list=PLOVaCZ_HQkvfVitVNby1tzl4Yed_kItOf
▶ Danh sách các bài học môn Lịch sử 10 Cô Triệu Thị Trang:
https://www.youtube.com/playlist?list=PLOVaCZ_HQkvdzGBbluX0ggFOi8BheSIER

Related Articles

Back to top button