Giáo Dục

Hàm số liên tục là gì? phương pháp giải và các dạng bài tập

Bài viết hàm số liên tục bao gồm: định lý và định nghĩa về hàm số liên tục, xét tính liên tục của hàm số, bài tập hàm số liên tục có lời giải, hàm số liên tục trên khoảng, hàm số liên tục tại 1 điểm…

Lý thuyết hàm số liên tục

Hàm số liên tục là gì?

Định nghĩa 1: Cho hàm số xác định trên khoảng . Hàm số được gọi là liên tục tại nếu .
Hàm số không liên tục tại được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

Chú ý: Khi xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, đặc biệt chú ý đến điều kiện hàm số xác định trên một khoảng (dù nhỏ) chứa điểm đó.

Định nghĩa 2: Hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số được gọi là liên tục trên một đoạn nếu nó liên tục trên khoảng và .

Chú ý: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

Các định lý về hàm số liên tục

Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác ).

Định lý 2:

a) Hàm đa thức liên tục trên .

b) Hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.

c) Các hàm số sơ cấp liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Định lý 3: Nếu hàm số lên tục trên đoạn và thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho .

Chú ý: Nếu liên tục trên đoạn và thì phương trình có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng .

Hàm số liên tục tại một điểm

liên tục tại
– Để xét tính liên tục của hàm số tại điểm ta thực hiện các bước:
Bước 1: Tính   .
Bước 2: Tính (trong nhiều trường hợp ta cần tính , )
Bước 3: So sánh với và rút ra kết luận.
Bước 4: Kết luận.

Hàm số liên tục trên một khoảng

liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

Hàm số liên tục trên một đoạn

liên tục trên và .

Hàm số đa thức liên tục trên .

Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Giả sử liên tục tại điểm .

Khi đó:
– Các hàm số liên tục tại .
– Hàm số liên tục tại nếu .

Nếu liên tục trên và thì tồn tại ít nhất một số .

Nói cách khác: Nếu liên tục trên và thì phương trình có ít nhất một nghiệm  .
Mở rộng: Nếu liên tục trên [a; b]. Đặt ,  . Khi đó với mọi luôn tồn tại ít nhất một số : .

Một số dạng toán về hàm số liên tục

Xét tính liên tục của hàm số.

Bước 1: Tính và
Bước 2: So sánh và kết luận.

Xem thêm :  Cách nhận biết để biểu đồ trong địa lý thpt

+) Nếu thì hàm số liên tục tại .
+) Nếu không tồn tại hoặc thì kết luận hàm số không liên tục tại .

Vấn đề 1: Hàm số liên tục tại một điểm

Dạng 1:
Phương pháp:
Bước 1: Tính   .
Bước 2: Tính .
Bước 3: So sánh với và rút ra kết luận.
Bước 4: Kết luận.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
Hướng dẫn giải:

Do: nên hàm số liên tục tại
Vậy: Hàm số liên tục tại

Dạng 2: hoặc
Phương pháp:
Bước 1: Tính   .
Bước 2: Tính , .
Bước 3: So sánh , với và rút ra kết luận.
Bước 4: Kết luận.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
Hướng dẫn giải:

Do: nên hàm số liên tục tại
Vậy: Hàm số liên tục tại

Dạng 3: hoặc
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Khi . Kiểm tra tính liên tục của hàm số trên các khoàng.
Bước 3: Khi .
– Tính   .
– Tính , .
– So sánh , với và rút ra kết luận tại điểm .
Bước 4: Kết luận tính liên tục trên tập xác định của chúng.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng:
Hướng dẫn giải:
– Tập xác định: .
– Nếu , thì hàm số .
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là .
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng .
– Nếu , thì hàm số .
Đây là hàm đa thức có tập xác định là .
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng .
– Nếu

Do: nên hàm số f(x) liên tục tại
Vậy: Hàm số liên tục tại
– Vậy: Hàm số liên tục trên .

Vấn đề 2: Hàm số liên tục trên tập xác định của nó

Dạng 1:
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Khi . Kiểm tra tính liên tục của hàm số tại .
Bước 3: Khi .
– Tính   .
– Tính .
– So sánh với và rút ra kết luận tại điểm .
Bước 4: Kết luận tính liên tục trên tập xác định của chúng.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng:
Hướng dẫn giải:
– Tập xác định:
– Nếu , thì hàm số .
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là .
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  và
– Nếu

Do: nên hàm số liên tục tại
Suy ra hàm số f(x) liên tục tại
– Vậy: Hàm số liên tục trên .

Dạng 2: hoặc

Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Khi . Kiểm tra tính liên tục của hàm số trên các khoàng.
Bước 3: Khi .
– Tính   .
– Tính , .
– So sánh , với và rút ra kết luận tại điểm .
Bước 4: Kết luận tính liên tục trên tập xác định của chúng.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng:
Hướng dẫn giải:
– Tập xác định: .
– Nếu , thì hàm số .
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là .
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng .
– Nếu , thì hàm số .
Đây là hàm đa thức có tập xác định là .
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng .
– Nếu

Xem thêm :  Natri hydroxit ( naoh) và những ứng dụng trong công nghiệp

Do: nên hàm số f(x) liên tục tại
Vậy: Hàm số liên tục tại
– Vậy: Hàm số liên tục trên .

Chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp:
Bước 1: Chứng minh hàm số liên tục trên đoạn .
Bước 2: Chứng minh .
Bước 3: Kết luận phương trình có ít nhất một nghiệm trên đoạn .

Chú ý: Đối với bài toán chứng minh phương trình có nghiệm mà không cho khoảng nào thì ta cần tìm hai số sao cho .

Ví dụ: Chứng minh phương trình có nghiệm trong khoảng
Hướng dẫn giải:
– Xét hàm số là hàm đa thức, liên tục trên R tức liên tục trên khoảng .
– Ta có: .
– Do đó: , tức phương trình  có nghiệm .

Ví dụ bài tập hàm số liên tục có lời giải

Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
Hướng dẫn giải:

Do: nên hàm số gián đoạn tại
Vậy: Hàm số gián đoạn tại

Bài tập 2: Tìm m để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
Hướng dẫn giải:

Để hàm số liên tục tại
Vậy: Giá trị cần tìm là

Bài tập 3: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
Hướng dẫn giải:

Do: nên hàm số f(x) gián đoạn tại
Vậy: Hàm số gián đoạn tại

Bài tập 4: Tìm m để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
Hướng dẫn giải:

Do hàm số liên tục tại
Vậy: Giá trị cần tìm là:

Bài tập 5: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng:
Hướng dẫn giải:
– Tập xác định:
– Nếu , thì hàm số .
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là .
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  và
– Nếu

Do: nên hàm số không liên tục tại
Suy ra hàm số không liên tục tại
– Vậy: Hàm số liên tục trên mỗi khoảng và nhưng gián đoạn tại

Bài tập 6: Tìm để hàm số liên tục trên tập xác định của chúng:

Hướng dẫn giải:
– Tập xác định:
– Nếu , thì hàm số .
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là .
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  và
– Nếu

Do hàm số không liên tục tại nên .
– Vậy: Giá trị cần tìm là

Bài tập 7: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng:
Hướng dẫn giải:
– Tập xác định:
– Nếu , thì hàm số .
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là .
Vậy nó liên tục trên khoảng .
– Nếu , thì hàm số .
Đây là hàm đa thứccó tập xác định là .
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng . – Nếu
Do: nên hàm số gián đoạn tại
– Vậy: Hàm số liên tục trên và gián đoạn tại .

Xem thêm :  Read and listen free books

Bài tập 8: Tìm để hàm số liên tục trên tập xác định của chúng:
Hướng dẫn giải:
– Tập xác định:
– Nếu , thì hàm số .
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là .
Vậy nó liên tục trên khoảng .
– Nếu , thì hàm số .
Đây là hàm đa thứccó tập xác định là .
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng .
– Nếu

.
Để hàm số gián đoạn tại khi .
– Vậy: Giá trị cần tìm là .

Bài tập 9: Chứng minh phương trình có ba nghiệm trong khoảng .
Hướng dẫn giải:
– Xét hàm số liên tục trên R nên liên tục trên mọi đoạn.
– Ta có: , , , . Suy ra phương trình có nghiệm trong mỗi khoảng , , .
– Vậy:  Phương trìn có ba nghiệm trên khoảng

Bài tập 10: Chứng minh rằng phương trình: luôn có nghiệm với và .
Hướng dẫn giải:
– Xét hàm số liên tục trên .
Ta có: ,
Do đó:
Như thế:
– Nếu hay phương trình hiển nhiên có nghiệm thuộc .
– Nếu và ta thấy .
Vậy: Phương trình có nghiệm trên .

Bài tập 11: Với mọi , chứng minh phương trình: luôn luôn có nghiệm.

Hướng dẫn giải:
– Xét hàm số liên tục trên .
, ,
Giả sử (tương tự các trường hợp sau)

– Nếu hoặc hoặc ta có do đó là một nghiệm của phương trình.

– Nếu . Ít nhất có một trong hai trường hợp xảy ra:
+Với
Suy ra phương trình có nghiệm trên đoạn
+Với
Suy ra phương trình có nghiệm trên đoạn .

Bài tập 12: Chứng minh rằng nếu thì phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng với

Hướng dẫn giải:
– Xét hàm số
Đặt . Khi đó ta có: có ít nhất một nghiệm .

– Nếu . Ta có: . Vậy phương trình có nghiệm .

– Nếu , lúc đó phương trình  có nghiệm , có nghĩa .

– Nếu . Ta có:
+Với phương trình có vô số nghiệm nên tất nhiên sẽ có một nghiệm thuộc .
+Với .

– Tóm lại: thỏa mãn thì phương trình có ít nhất một nghiệm , tức là thì phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng với .
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

4

/

5

(

1

bình chọn

)


Hàm số liên tục tại một điểm – Môn Toán lớp 11 – Thầy giáo: Nguyễn Công Chính


Bài giảng hôm nay sẽ giúp các em hiểu được định nghĩa hàm số liên tục, gián đoạn tại 1 điểm, phương pháp chứng minh hàm số liên tục, gián đoạn tại một điểm, đồng thời qua đây, thầy cung cấp với các em các ví dụ minh họa được giải chi tiết, giúp các em không những có được phương pháp trình bày đầy đủ, chi tiết, đồng thời có được kinh nghiệm làm bài quý báu.
Link khóa học: https://tuyensinh247.com/hoctructuyenmontoanlop11c138.html
File tải về: https://images.tuyensinh247.com/picture/2020/0305/ltbghamsolientuctaimotdiem.pdf
Học trực tuyến tại: http://tuyensinh247.com\r
Fanpage: https://fb.com/luyenthi.tuyensinh247/

Related Articles

Back to top button