Giáo Dục

Luyện tập rút gọn phân thức (có đáp án)

Cập nhật lúc: 11:41 11-12-2018
Mục tin: LỚP 8

Bài viết này cung cấp cho các em kiến thức về rút gọc phân thức đại số. Trong phần lý thuyết, các em sẽ được biết làm cách nào để rút gọn một phân thức. Phần bài tập bao gồm các bài toán tư dễ đến khó như rút gọn phân thức, so sánh phân thức, chứng minh hai phân thức bằng nhau…được đính kèm lời giải ngay bên dưới để các em đối chiếu đáp án sau khi làm xong.

Xem thêm: Rút gọn phân thức

  LUYỆN TẬP PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

I. LÝ THUYẾT

1. Qui tắc

Muốn rút gọn một phân thức đại số ta phải:

– Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung

– Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau

2. Chú ý

Có khi cần đổi dấu tử hoặc mẫu thức để xuất hiện nhân tử chung.

II. BÀI TẬP

Bài 1. Rút gọn:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{6{x^2}{y^2}}}{{8x{y^5}}}\\b.\frac{{10x{y^2}(x + y)}}{{15xy{{(x + y)}^3}}}\\c.\frac{{2{x^2} + 2x}}{{x + 1}}\\d.\frac{{{x^2} – xy – x + y}}{{{x^2} + xy – x – y}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{6{x^2}{y^2}}}{{8x{y^5}}} = \frac{{3x.2x{y^2}}}{{4{y^3}.2x{y^2}}} = \frac{{3x}}{{4{y^3}}}\\b.\frac{{10x{y^2}(x + y)}}{{15xy{{(x + y)}^3}}} = \frac{{2y.5xy.(x + y)}}{{3{{(x + y)}^2}.5xy(x + y)}} = \frac{{2y}}{{3{{(x + y)}^2}}}\\c.\frac{{2{x^2} + 2x}}{{x + 1}} = \frac{{2x(x + 1)}}{{x + 1}} = 2x\\d.\frac{{{x^2} – xy – x + y}}{{{x^2} + xy – x – y}} = \frac{{x(x – y) – (x – y)}}{{x(x + y) – (x + y)}} = \frac{{(x – 1)(x – y)}}{{(x + y)(x – 1)}} = \frac{{x – y}}{{x + y}}\end{array}\)

Bài 2. Các nhận định sau đúng hay sai?

\(\begin{array}{l}a.\frac{{3xy}}{{9y}} = \frac{x}{3}\\b.\frac{{3xy + 3}}{{9y + 3}} = \frac{x}{3}\\c.\frac{{3xy + 3}}{{9y + 3}} = \frac{{x + 1}}{6}\\d.\frac{{3xy + 3x}}{{9y + 9}} = \frac{x}{3}\end{array}\)

Giải:

a) Đúng vì đã chia cả tử cả mẫu cuả vế trái cho 3y.

b) Vế phải chứng tỏ đã chia mẫu của vế trái cho 3y + 1 vì 9y + 3 = 3(3y + 1)

Nhưng tử của vế trái không có nhân tử 3y + 1. Nên phép rút gọn này sai.

c) Sai, vì y không phải là nhân tử chung của tử thức và mẫu thức của vế trái

d) Đúng, vì đã rút gọn phân thức ở vế trái với nhân tử chung là 3(y + 1)

 Bài 3. Áp dụng quy tắc đổi dấu rồi rút gọn:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{36{{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)}^3}}}{{32 – 16x}}\\b.\frac{{{x^2}-{\rm{ }}xy}}{{5{y^2}-{\rm{ }}5xy}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{36{{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)}^3}}}{{32 – 16x}} = \frac{{36{{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)}^3}}}{{16(2 – x)}} = \frac{{ – 36{{\left( {2{\rm{ }}-{\rm{ }}x} \right)}^3}}}{{16(2 – x)}} = \frac{{ – 9{{(2 – x)}^2}}}{4}\\b.\frac{{{x^2}-{\rm{ }}xy}}{{5{y^2}-{\rm{ }}5xy}} = \frac{{x(x – y)}}{{5y(y – x)}} = \frac{{ – x(y – x)}}{{5y(y – x)}} = \frac{{ – x}}{{5y}}\end{array}\)

Xem thêm :  Cảm nhận của em về nhân vật vũ nương trong tác phẩm chuyện người con gái nam xương

Bài 4: Đố em rút gọn:

\(\frac{{{x^7} + {\rm{ }}{x^6} + {\rm{ }}{x^5} + {\rm{ }}{x^4} + {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^{2}} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1}}{{{x^2}-{\rm{ }}1}}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^7} + {\rm{ }}{x^6} + {\rm{ }}{x^5} + {\rm{ }}{x^4} + {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^{2}} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1}}{{{x^2}-{\rm{ }}1}}\\ = \frac{{{x^6}(x + 1) + {x^4}(x + 1) + {x^2}(x + 1) + (x + 1)}}{{(x + 1)(x – 1)}}\\ = \frac{{(x + 1)({x^6} + {x^4} + {x^2} + 1)}}{{(x + 1)(x – 1)}}\\ = \frac{{{x^6} + {x^4} + {x^2} + 1}}{{x – 1}}\end{array}\)

Bài 5. Rút gọn các phân thức:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{12{x^3}{y^2}}}{{18x{y^5}}}\\b.\frac{{15x{{(x + 5)}^3}}}{{20{x^2}(x + 5)}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{12{x^3}{y^2}}}{{18x{y^5}}} = \frac{{2.(6x{y^2}).{x^2}}}{{3.(6x{y^2}).{y^3}}} = \frac{{2{x^2}}}{{3{y^3}}}\\b.\frac{{15x{{(x + 5)}^3}}}{{20{x^2}(x + 5)}} = \frac{{3.5x.(x + 5){{(x + 5)}^2}}}{{4.5x.x.(x + 5)}} = \frac{{3{{(x + 5)}^2}}}{{4x}}\end{array}\)

 Bài 6. Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn.

\(\begin{array}{l}a.\frac{{3{x^2} – 12x + 12}}{{{x^4} – 8x}}\\b.\frac{{7{x^2} + 14x + 7}}{{3{x^2} + 3x}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{3{x^2} – 12x + 12}}{{{x^4} – 8x}} = \frac{{3.({x^2} – 4x + 4)}}{{x({x^3} – 8)}} = \frac{{3{{(x – 2)}^2}}}{{x(x – 2)({x^2} + 2x + 4)}} = \frac{{3(x – 2)}}{{x({x^2} + 2x + 4)}}\\b.\frac{{7{x^2} + 14x + 7}}{{3{x^2} + 3x}} = \frac{{7({x^2} + 2x + 1)}}{{3x(x + 1)}} = \frac{{7(x + 1)}}{{3x}}\end{array}\)

Bài 7. Áp dụng quy tắc đổi dấu rồi rút gọn:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{45x(3 – x)}}{{15x{{(x – 3)}^3}}}\\b.\frac{{{y^2} – {x^2}}}{{{x^3} – 3{x^2}y + 3x{y^2} – {y^3}}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{45x(3 – x)}}{{15x{{(x – 3)}^3}}} = \frac{{ – 3.15x(x – 3)}}{{15x{{(x – 3)}^3}}} = \frac{{ – 3}}{{{{(x – 3)}^2}}}\\b.\frac{{{y^2} – {x^2}}}{{{x^3} – 3{x^2}y + 3x{y^2} – {y^3}}} = \frac{{(y – x)(x + y)}}{{{{(x – y)}^3}}} = \frac{{ – (x + y)}}{{{{(x – y)}^2}}}\end{array}\)

 Bài 8. Rút gọn các phân thức

\(\begin{array}{l}a.\frac{{14x{y^5}\left( {2x – 3y} \right)}}{{21{x^2}y{{\left( {2x – 3y} \right)}^2}}}\\b.\frac{{8xy{{\left( {3x – 1} \right)}^3}}}{{12{x^3}\left( {1 – 3x} \right)}}\\c.\frac{{20{x^2} – 45}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\\d.\frac{{5{x^2} – 10xy}}{{2{{\left( {2y – x} \right)}^3}}}\\e.\frac{{80{x^3} – 125x}}{{3\left( {x – 3} \right) – \left( {x – 3} \right)\left( {8 – 4x} \right)}}\\f.\frac{{9 – {{\left( {x + 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 4x + 4}}\\g.\frac{{32x – 8{x^2} + 2{x^3}}}{{{x^3} + 64}}\\h.\frac{{5{x^3} + 5x}}{{{x^4} – 1}}\\i.\frac{{{x^2} + 5x + 6}}{{{x^2} + 4x + 4}}\end{array}\)

Giải

\(\begin{array}{l}a.\frac{{14x{y^5}\left( {2x – 3y} \right)}}{{21{x^2}y{{\left( {2x – 3y} \right)}^2}}} = \frac{{2{y^4}}}{{3x\left( {2x – 3y} \right)}}\\b.\frac{{8xy{{\left( {3x – 1} \right)}^3}}}{{12{x^3}\left( {1 – 3x} \right)}} = \frac{{ – 8xy{{\left( {3x – 1} \right)}^3}}}{{12{x^2}\left( {3x – 1} \right)}} = \frac{{ – 2y{{(3x – 1)}^2}}}{{3x}}\\c.\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\frac{{20{x^2} – 45}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{5\left( {4{x^2} – 9} \right)}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}}\\{}&{ = \frac{{5\left( {2x + 3} \right)\left( {2x – 3} \right)}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{5\left( {2x – 3} \right)}}{{2x + 3}}}\end{array}\\d.\frac{{5{x^2} – 10xy}}{{2{{\left( {2y – x} \right)}^3}}} = \frac{{ – 5x\left( {2y – x} \right)}}{{2{{\left( {2y – x} \right)}^3}}} = \frac{{ – 5x}}{{2{{(2y – x)}^2}}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{e.}&{\frac{{80{x^3} – 125x}}{{3\left( {x – 3} \right) – \left( {x – 3} \right)\left( {8 – 4x} \right)}}}\\{}&{ = \frac{{5x\left( {16{x^2} – 25} \right)}}{{\left( {x – 3} \right)\left( {3 – 8 + 4x} \right)}}}\\{}&{ = \frac{{5x\left( {4x – 5} \right)\left( {4x + 5} \right)}}{{\left( {x – 3} \right)\left( {4x – 5} \right)}}}\\{}&{ = \frac{{5x\left( {4x + 5} \right)}}{{x – 3}}}\end{array}\end{array}\)\(\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{f.}&{\frac{{9 – {{\left( {x + 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 4x + 4}}}\\{}&{ = \frac{{\left( {3 + x + 5} \right)\left( {3 – x – 5} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}}\\{}&{ = \frac{{\left( {8 + x} \right)\left( { – 2 – x} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}}\\{}&{ = \frac{{ – \left( {8 + x} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{ – \left( {8 + x} \right)}}{{x + 2}}}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{g.}&{\frac{{32x – 8{x^2} + 2{x^3}}}{{{x^3} + 64}}}\\{}&{ = \frac{{2x\left( {16 – 4x + {x^2}} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {{x^2} – 4x + 16} \right)}}}\\{}&{ = \frac{{2x}}{{x + 4}}}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{h.}&{\frac{{5{x^3} + 5x}}{{{x^4} – 1}} = \frac{{5x\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}}\\{}&{ = \frac{{5x}}{{{x^2} – 1}}}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{i.}&{\frac{{{x^2} + 5x + 6}}{{{x^2} + 4x + 4}}}\\{}&{ = \frac{{{x^2} + 2x + 3x + 6}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}}\\{}&{ = \frac{{x\left( {x + 2} \right) + 3\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}}\\{}&{ = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{x + 3}}{{x + 2}}}\end{array}\end{array}\)

Xem thêm :  Từ vựng tiếng anh lớp 8( full)

Bài 9. Chứng minh các đẳng thức sau:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3}}}{{2{x^2} + xy – {y^2}}} = \frac{{xy + {y^2}}}{{2x – y}}\\b.\frac{{{x^2} + 3xy + 2{y^2}}}{{{x^3} + 2{x^2}y – x{y^2} – 2{y^3}}} = \frac{1}{{x – y}}\end{array}\)

Giải:

a. Biến đổi vế trái:

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3}}}{{2{x^2} + xy – {y^2}}} = \frac{{y\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)}}{{2{x^2} + 2xy – xy – {y^2}}} = \frac{{y{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{2x\left( {x + y} \right) – y\left( {x + y} \right)}}\\= \frac{{y{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {2x – y} \right)}} = \frac{{y\left( {x + y} \right)}}{{2x – y}} = \frac{{xy + {y^2}}}{{2x – y}}\end{array}\)

Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.

b. Biến đổi vế trái:

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2} + 3xy + 2{y^2}}}{{{x^3} + 2{x^2}y – x{y^2} – 2{y^3}}} = \frac{{{x^2} + xy + 2xy + 2{y^2}}}{{{x^2}\left( {x + 2y} \right) – {y^2}\left( {x + 2y} \right)}} = \frac{{x\left( {x + y} \right) + 2y\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} – {y^2}} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}{{\left( {x + 2y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x – y} \right)}} = \frac{1}{{x – y}}\end{array}\)

Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.

Bài 10. Cho hai phân thức \(\frac{{{x^3} – {x^2} – x + 1}}{{{x^4} – 2{x^2} + 1}};\frac{{5{x^3} + 10{x^2} + 5x}}{{{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}}\).

Theo bài tập 8, có vô số cặp phân thức có cùng mẫu thức và bằng cặp phân thức đã cho. Hãy tìm cặp phân thức như thế với mẫu thức là đa thức có bậc thấp nhất.

Giải:

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^3} – {x^2} – x + 1}}{{{x^4} – 2{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2}\left( {x – 1} \right) – \left( {x – 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {{x^2} – 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{x + 1}}\\\frac{{5{x^3} + 10{x^2} + 5x}}{{{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}} = \frac{{5x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = \frac{{5x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = \frac{{5x}}{{x + 1}}\end{array}\)

Xem thêm :  Từ vựng tiếng anh lớp 7 sgk chương trình mới (full)

Bài 11. Tìm x, biết:

  1. a2x + x = 2a4– 2 với a là hằng số
  2. a2x + 3ax + 9 = a2với a là hằng số, a ≠0 và a ≠3

Giải:

\(\begin{array}{l}a)\\{a^2}x + x = 2{a^4} – 2\\x\left( {{a^2} + 1} \right) = 2\left( {{a^4} – 1} \right)\\x = \frac{{2\left( {{a^4} – 1} \right)}}{{{a^2} + 1}} = \frac{{2\left( {{a^2} – 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)}}{{{a^2} + 1}} = 2\left( {{a^2} – 1} \right)\\b)\\{a^2}x + 3ax + 9 = {a^2}\\ \Rightarrow ax\left( {a + 3} \right) = {a^2} – 9\\x = \frac{{{a^2} – 9}}{{a\left( {a + 3} \right)}} = \frac{{\left( {a – 3} \right)\left( {a + 3} \right)}}{{a\left( {a + 3} \right)}} = \frac{{a – 3}}{a}\\(a \ne 0;a \ne  – 3)\end{array}\)

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:


Rút gọn phân thức – Bài 3 – Toán học 8 – Cô Phạm Thị Huệ Chi (HAY NHẤT)


? Đăng ký khóa học của thầy cô VietJack giá từ 250k tại: https://bit.ly/30CPP9X.
?Tải app VietJack để xem các bài giảng khác của thầy cô. Link tải: https://vietjack.onelink.me/hJSB/30701ef0
☎️ Hotline hỗ trợ: 084 283 4585
Toán học 8 Bài 3 Rút gọn phân thức
Video bài học hôm nay, cô sẽ hướng dẫn các em toàn bộ kiến thức cần nhớ bài Rút gọn phân thức trong chương trình Toán học 8. Cùng với đó, cô sẽ giải chi tiết các ví dụ minh họa bằng phương pháp nhanh nhất. Theo dõi bài học cùng cô để học tốt hơn nhé!
Đăng kí mua khóa học của VietJack tại: https://m.me/hoc.cung.vietjack
Học trực tuyến tại: https://khoahoc.vietjack.com/
Fanpage: https://www.facebook.com/hoc.cung.vietjack/
vietjack, toan8, bai3
▶ Danh sách các bài học môn Toán học 8 Cô Phạm Thị Huệ Chi :
https://www.youtube.com/playlist?list=PL5q2T2FxzK7VpKsoANTSYW5lsHH5j8wEo
▶ Danh sách các bài học môn Ngữ văn 8 Cô Lan Anh:
https://www.youtube.com/playlist?list=PL5q2T2FxzK7VOVyAP1mkNnbprT5u56lcT
▶ Danh sách các bài học môn Tiếng anh 8 Cô Giang Ly:
https://www.youtube.com/playlist?list=PL5q2T2FxzK7V9IfdRJFZieNOSym2Tpg3C
▶ Danh sách các bài học môn Toán học 8 Cô Vương Thị Hạnh:
https://www.youtube.com/playlist?list=PL5q2T2FxzK7VrxEM_uz4qNx4ekYsAsRt9

Related Articles

Back to top button