Tập hợp phần tử của tập hợp: tổng hợp lý thuyết và các dạng bài tập

Định nghĩa tập hợp là gì?

Tập hợp trong toán học là một nhóm các đối tượng nào đó, và các đối tượng này được gọi là phần tử của tập hợp.

Ví dụ về tập hợp:

• Tập hợp người dân trong một xã.

• Tập hợp những số tự nhiên nhỏ hơn \( 10 \) 

• Tập hợp các chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Việt.

Cách viết một tập hợp

Tên tập hợp được viết bằng các chữ cái in hoa : \( A ; B ; C ;… \) 

Các phần tử của tập hợp thường được viết trong hai dấu ngoặc nhọn \(\{ \}\) ngăn cách nhau bởi dấu  \( ; \) 

Mỗi phần tử được liệt kê một lần, thứ tự liệt kê tùy ý:

• Nếu phần tử \( a \) thuộc tập hợp \( A \) ta viết : \( a \in A \) 

• Nếu phần tử \( a \) không thuộc tập hợp \( A \) ta viết : \( a \notin A \) 

Để viết tập hợp thường có hai cách:

• Liệt kê các phần tử của tập hợp: VD : \(A = \{1;2;3;4 \}\)

• Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó: VD : \(\{ x \in N | x <5 \}\)

Ví dụ cách viết một tập hợp:

Hãy viết tập hợp các số tự nhiên chẵn có một chữ số bằng hai cách

Ta sẽ viết theo hai cách như trên :

• Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp: \( A = \{ 2;4;6;8 \} \) 

• Cách 2 : Chỉ ra tính chất đặc trưng. Những số tự nhiên chẵn có một chữ số là những chia hết cho \( 2 \) và nhỏ hơn \( 10 \) 

\(A= \{ x \vdots 2 | x< 10 \}\)

Số phần tử của tập hợp tập hợp con

Một tập hợp trong toán học có thể có một phần tử, cũng có thể là nhiều phần tử, vô số phần tử hoặc là không có phần tử nào (được gọi là tập hợp rỗng).

Ví dụ:

• Tập hợp \( A= \{ 1 \} \) là tập hợp có một phần tử

• Tập hợp \( B = \{ x \in N | x<100 \} \) là tập hợp có nhiều phần tử 

• Tập hợp số tự nhiên \( N = \{ 1;2;3;4;…. \} \) là tập hợp có vô số phần tử

• Tập hợp rỗng kí hiệu là \( \emptyset \)

Nếu mọi phần tử của tập hợp \( A \) đều thuộc tập hợp \( B \) thì trong toán học ta nói \( A \) là tập hợp con của \( B \) 

Kí hiệu: \(A \subset B\)

Ví dụ:

• Tập hợp số tự nhiên \( N \) là một tập hợp con của tập hợp số nguyên \( Z \). Kí hiệu \(N \subset Z\)

• Tập hợp người dân Hà Nội là một tập hợp con của tập hợp người dân Việt Nam

Số phần tử của tập hợp con sẽ luôn nhỏ hơn hoặc bằng số phần tử của tập hợp gốc

Tập rỗng luôn là tập hợp con của mọi tập hợp. 

Tổng hợp các phép toán trên tập hợp

Trong phần lý thuyết tập hợp và phần tử tập hợp, ta có hai phép toán cơ bản là phép giao và phép hợp. 

Giao của hai tập hợp theo định nghĩa \( A \) và \( B \) là tập hợp chứa tất cả các phần tử vừa thuộc \( A \) và vừa thuộc \( B \) 

Kí hiệu : \(A \cap B = \{ x| \left\{\begin{matrix} x \in A \\ x \in B \end{matrix}\right. \}\)

Hợp của hai tập hợp \( A \) và \( B \) là tâp hợp chưa tất cả các phần tử thuộc \( A \) hoặc thuộc \( B \) 

Kí hiệu :\(A \cup B =\{ x| \left[\begin{array}{l} x \in A\\x\in B \end{array}\right. \}\)

Ví dụ:

Cho hai tập hợp \( A= \{ 1;3;5 \} \) và \( B = \{ 1;2;3 \} \) 

Hãy viết giao và hợp của hai tập hợp trên 

Ta có:

\(A \cap B = \{ 1;3 \}\)

\(A \cup B = \{ 1;2;3;5 \}\)

Các dạng bài tập về tập hợp phần tử của tập hợp

Để xác định tập hợp thì đầu tiên ta cần sử dụng các phép toán, các dấu hiệu để tìm ra các phần tử của tập hợp hoặc điểm đặc trưng của các phần tử. Sau đó chúng ta có thể viết tập hợp bằng một trong hai cách đã nêu. 

Ví dụ:

a, Viết tập hợp các số tự nhiên lớn hơn \( 10 \) và nhỏ hơn \( 15 \) 

b, Cho \( A = \{ x| x< 30 ; x \vdots 5 \} \) . Viết tập hợp \( A \) dưới dạng liệt kê.

a, Ta có :

\( A = \{ 11;12;13;14 \} \) 

b, Ta có :

\( A= \{ 0;5;10;15;20;25 \} \) 

Để tính số phần tử của tập hợp ta sử dụng công thức sau đây:

Số các số hạng từ \( a \) đến \( b \) mà hai số kề nhau cách nhau \( c \) đơn vị là : \(\frac{b-a}{c}+1\)

Nói cách khác, để đếm số các số hạng trong dãy số cách đều, ta lấy số cuối trừ số đầu rồi lấy hiệu tìm được chia cho khoảng cách giữa hai số liên tiếp, sau đó cộng thêm \( 1 \) đơn vị.

Ngoài ra, để tính tổng tất cả các số hạng trong dãy số cách đều nhau ta có công thức: \(\frac{(a+b)\times n}{2}\)

Trong đó: \( a,b \) là hai số hạng đầu tiên và cuối cùng

\( n \) là số các số hạng trong dãy số được tính theo công thức \(n= \frac{b-a}{c}+1\)

Ví dụ:

Cho tập hợp : \( A= \{x \vdots 3 |10< x < 40 \} \) 

a, Viết tập hợp \( A \) dưới dạng liệt kê 

b, Tính số phần tử tập hợp \( A \). Tính tổng của tất cả các phần tử của \( A \) 

c, Tập hợp \( B= \{ x \vdots | 10

a, Ta có :

\( A = \{ 12;15;18;….;33;36;39 \} \) 

b, Hai số liên tiếp chia hết cho \( 3 \) cách nhau \( 3 \) đơn vị

Áp dụng công thức ta có :

Số phần tử của tập hợp \( A \) là : \(\frac{39-12}{3}+1=10\) số

Tổng tất cả các phần tử của \( A \) là: \(\frac{(39+12).10}{2} = 155\)

c, Ta thấy, một số tự nhiên chia hết cho \( 6 \) thì hiển nhiên chia hết cho \( 3 \) . Do đó \( B \) là tập hợp con của \( A \) hay : \(B \subset A\)

Để giải bài toán này ta cần nắm vững các phép toán trên tập hợp, biết cách phân biệt các phép giao và hợp.

Ví dụ:

Cho hai tập hợp : \( A = \{ 0< x < 50 | x \vdots 2 \} \) và \( B = \{ 0

a, Xác định tập hợp \( A \cup B \) bằng cách liệt kê 

b, Xác định tập hợp \(A \cap B\) bằng cách nêu điểm đặc trưng

Ta có:

\( A = \{ 2;4;6;8;….;46;48 \} \) 

\( B = \{ 5;10;15;…;40;45 \} \) 

Vậy \(A \cup B = \{ 2;4;5;6;8;10;….;44;45;46;48 \}\)

b, 

Tập hợp \(A \cap B\) là tập hợp chứa những số nguyên dương nhỏ hơn \( 50 \) và chia hết cho cả \( 2 \) và \( 5 \) 

Vì \( 2 ; 5 \) nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow\) một số vừa chia hết cho \( 2 \) vừa chia hết cho \( 5 \) thì chia hết cho \( 10 \) 

Vậy : \(A \cap B = \{ 0

Để tính số lượng tập hợp con của một tập hợp đã cho ta cần sử dụng công thức sau đây:

Cho tập hợp \( A \) có \( n \) phần tử. Khi đó số lượng tập hợp con của \( A \) là \( 2^n \) 

Để tính số phần tử của tập hợp thì ta sử dụng công thức đã nêu ở phần trên

Tập hợp rỗng \( \emptyset \) và tập hợp \( A \) cũng đều được coi là tập con của \( A \)

Ví dụ:

Cho tập hợp \( A = \{ 0

a, Hỏi \( A \) có tất cả bao nhiêu tập hợp con ?

b, Có bao nhiêu tập con của \( A \) không chứa phần tử \( 3 \) ?

a, Ta có :

\( A = \{ 3;6;9;…;18 \} \) 

Số phần tử của \( A \) là : \(\frac{18-3}{3}+1=6\) phần tử 

Vậy số tập hợp con của \( A \) là : \( 2^6 =64 \) 

b, Gọi \(B = A \setminus \{1\}\)

Như vậy số tập con của \( A \) không chứa \( 1 \) chính là số tập con của \( B \) 

Vì \( A \) có \( 6 \) phần tử nên \(\Rightarrow\) tập \( B \) có \( 5 \) phần tử

Do đó ta có : Số tập con của \( A \) không chứa \( 1 \) là : \( 2^5 =32 \) 

Sơ đồ Ven trong toán học chính là những đường cong kín, các đường tròn sử dụng để mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán. Sơ đồ Ven giúp cho ta có cái nhìn trực quan về quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán, từ đó ta sẽ giải được bài toán một cách thuận lợi. 

Ví dụ:

Tất cả học sinh của lớp \( 6A \) đều biết chơi cờ tướng hoặc cờ vua. Có \( 25 \) em biết chơi cờ tướng, \( 30 \) em biết chơi cờ vua và \( 15 \) em biết chơi cả hai. Hỏi sĩ số của lớp \( 6A \) là bao nhiêu?

Từ các dữ kiện bài toán thì ta có sơ đồ Ven như sau:

Từ hình vẽ ta thấy:

Số học sinh chỉ biết chơi cờ tướng là \( 25-15=10 \) em 

Số học sinh chỉ biết chơi cờ vua là \( 30-15 = 15 \) em 

Như vậy số học sinh lớp \( 6A \) là : \( 10+15+15 = 40 \) em 

Để chứng minh tính chất của tập hợp thì ta cần chỉ ra những đặc điểm của từng tập hợp rồi biện luận để chứng minh các tính chất hay quan hệ giữa các tập hợp với nhau.

Ví dụ:

Cho hai tập hợp \( A= \{ 2n+1 , n \in N \} \) và \( B = \{ 4m+3 , m \in N \} \) 

Chứng minh rằng \( B \) là tập con của \( A \) 

Giả sử \( x \) là một phần tử của \( B \) 

Ta có : \( x= 4m+3 = 2(2m+1) +1 \) 

Đặt \( n = 2m+1 \) , khi đó \( x = 2n +1 \) 

Như vậy \( x \) cũng thuộc \( A \) 

Vậy mọi phần tử của \( B \) đều thuộc \( A \) hay \(B \subset A\)

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm:

Rate this post

Please follow and like us: