Giáo Dục

Các dạng bài tập bất phương trình mũ và cách giải

Phương trình và bất phương trình Logarit

Bài tập trắc nghiệm phương trình và bất phương trình Logarit

1. Định nghĩa

  • Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.
  • Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

2. Phương trình và bất phương trình lôgarit cơ bản: cho a, b > 0, a ≠ 1

  • Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: \({\log _a}f(x) = b\)
  • Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng: \({\log _a}f(x) > b;\,\,{\log _a}f(x) \ge b;\,\,{\log _a}f(x) < b;\,\,{\log _a}f(x) \le b\)

3. Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit
Đưa về cùng cơ số

  • \({\log _a}f(x) = {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\f(x) = g(x)\end{array} \right.\), với mọi 0 < a, a ≠ 1.
  • Nếu \(a > 1\) thì \({\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g(x) > 0\\f(x) > g(x)\end{array} \right.\).
  • Nếu \(0 < a < 1\) thì ${\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\f(x) < g(x)\end{array} \right.$.

Bài tập trắc nghiệm phương trình và bất phương trình Logarit

Câu 1. Điều kiện xác định của phươg trình \({\log _{2x – 3}}16 = 2\) là:
[A]. \(x \in \mathbb{R}\backslash \left[ {\dfrac{3}{2};2} \right]\).
[B]. \(x \ne 2\).
[C]. \(\dfrac{3}{2} < x \ne 2\).
[D]. \(x > \dfrac{3}{2}\).

Hướng dẫn

Biểu thức\({\log _{2x – 3}}16\) xác định$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x – 3 > 0\\2x – 3 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{3}{2}\\x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{3}{2} < x \ne 2$

[Ẩn HD]

Câu 2. Điều kiện xác định của phươg trình \({\log _x}(2{x^2} – 7x – 12) = 2\) là:
[A]. \(x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
[B]. \(x \in \left( { – \infty ;0} \right)\).
[C]. \(x \in \left( {0;1} \right)\).
[D]. \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Hướng dẫn

Biểu thức \({\log _x}(2{x^2} – 7x – 12)\) xác định$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\\2{x^2} – 7x + 12 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\\2\left[ {{{(x – \dfrac{7}{4})}^2} + \dfrac{{47}}{{16}}} \right] > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in (0;1) \cup (1; + \infty )$

[Ẩn HD]

Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình \({\log _5}(x – 1) = {\log _5}\dfrac{x}{{x + 1}}\)là:
[A]. $x \in \left( {1; + \infty } \right)$.
[B]. \(x \in \left( { – 1;0} \right)\).
[C]. \(x \in \mathbb{R}\backslash {\rm{[}} – 1;0]\).
[D]. \(x \in \left( { – \infty ;1} \right)\).

Hướng dẫn

Biểu thức \({\log _5}(x – 1)\)và \({\log _5}\dfrac{x}{{x + 1}}\) xác định$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{x + 1}} > 0\\x – 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < – 1 \vee x > 0\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1$
chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 4. Điều kiện xác định của phươg trình\({\log _9}\dfrac{{2x}}{{x + 1}} = \dfrac{1}{2}\) là:
[A]. $x \in \left( { – 1; + \infty } \right)$.
[B]. \(x \in \mathbb{R}\backslash {\rm{[}} – 1;0]\).
[C]. $x \in \left( { – 1;0} \right)$.
[D]. \(x \in \left( { – \infty ;1} \right)\).

Hướng dẫn

Biểu thức \({\log _9}\dfrac{{2x}}{{x + 1}}\) xác định :
$ \Leftrightarrow \dfrac{{2x}}{{x + 1}} > 0 \Leftrightarrow x < – 1 \vee x > 0 \Leftrightarrow x \in ( – \infty ; – 1) \cup (0; + \infty )$

[Ẩn HD]

Câu 5. Phương trình \({\log _2}(3x – 2) = 2\)có nghiệm là:
[A]. \(x = \dfrac{4}{3}\).
[B]. \(x = \dfrac{2}{3}\).
[C]. x = 1.
[D]. x = 2.

Hướng dẫn

PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x – 2 > 0\\3x – 2 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{3}{2}\\x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2$.

[Ẩn HD]

Câu 6. Phương trình\({\log _2}(x + 3) + {\log _2}(x – 1) = {\log _2}5\) có nghiệm là:
[A]. x = 2.
[B]. x = 1.
[C]. x = 3.
[D]. x = 0.

Hướng dẫn

PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 1 > 0\\(x + 3)(x – 1) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{x^2} + 2x – 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x = – 8\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 2$.

[Ẩn HD]

Câu 7. Phương trình \({\log _3}({x^2} – 6) = {\log _3}(x – 2) + 1\) có tập nghiệm là:
[A]. \(T = {\rm{\{ }}0;3\} \).
[B]. \(T = \emptyset \).
[C]. \(T = {\rm{\{ }}3\} \).
[D]. $T = {\rm{\{ }}1;3\} $.

Hướng dẫn

PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 6 > 0\\x – 3 > 0\\{x^2} – 6 = 3(x – 3)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < – \sqrt 6 \vee x > \sqrt 6 \\x > 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x \in \emptyset $.

[Ẩn HD]

Câu 8. Phương trình $\log _2^{}x + {\log _2}(x – 1) = 1$ có tập nghiệm là:
[A]. \(\left\{ { – 1;3} \right\}\).
[B]. \(\left\{ {1;3} \right\}\).
[C]. \(\left\{ 2 \right\}\).
[D]. \(\left\{ 1 \right\}\).

Hướng dẫn

PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x – 1 > 0\\{\log _2}\left[ {x(x – 1)} \right] = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{x^2} – x – 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2$, chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 9. Phương trình $\log _2^2(x + 1) – 6{\log _2}\sqrt {x + 1} + 2 = 0$ có tập nghiệm là:
[A]. \(\left\{ {3;15} \right\}\).
[B]. \(\left\{ {1;3} \right\}\).
[C]. \(\left\{ {1;2} \right\}\).
[D]. \(\left\{ {1;5} \right\}\).

Hướng dẫn

PT\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\{\log ^2}_2(x + 1) – 3{\log _2}(x + 1) + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > – 1\\\left[ \begin{array}{l}{\log _2}(x + 1) = 1\\{\log _2}(x + 1) = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > – 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).

[Ẩn HD]

Câu 10. Số nghiệm của phương trình\({\log _4}\left( {{{\log }_2}x} \right) + {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) = 2\) là:
[A]. 0.
[B]. 2.
[C]. 3.
[D]. 1.

Hướng dẫn

PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _2}x > 0\\{\log _4}x > 0\\{\log _{{2^2}}}\left( {{{\log }_2}x} \right) + {\log _2}\left( {{{\log }_{{2^2}}}x} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) + {\log _2}\left( {\dfrac{1}{2}{{\log }_2}x} \right) = 2\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) + {\log _2}\dfrac{1}{2} + {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\dfrac{3}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) – 1 = 2\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _2}x = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x = 16\end{array} \right. \Rightarrow x = 16$.

[Ẩn HD]

Câu 11. Số nghiệm của phương trình\({\log _2}x.{\log _3}(2x – 1) = 2{\log _2}x\) là:
[A]. 2.
[B]. 0.
[C]. 1.
[D]. 3.

Hướng dẫn

PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\2x – 1 > 0\\{\log _2}x.{\log _3}(2x – 1) = 2{\log _2}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{2}\\{\log _2}x\left[ {{{\log }_3}(2x – 1) – 2} \right] = 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 0\\{\log _3}(2x – 1) = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.$.

[Ẩn HD]

Câu 12. Số nghiệm của phương trình\({\log _2}({x^3} + 1) – {\log _2}({x^2} – x + 1) – 2{\log _2}x = 0\)là:
[A]. 0.
[B]. 2.
[C]. 3.
[D]. 1.

Hướng dẫn

PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^3} + 1 > 0\\{x^2} – x + 1 > 0\\{\log _{{2^{}}}}({x^3} + 1) – {\log _2}({x^2} – x + 1) – 2{\log _{{2^{}}}}x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}({x^2} – x + 1)}} = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\dfrac{{(x + 1)({x^2} – x + 1)}}{{{x^2}({x^2} – x + 1)}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = – 1\end{array} \right. \Rightarrow x \in \emptyset $.

[Ẩn HD]

Câu 13. Số nghiệm của phương trình ${\log _5}\left( {5x} \right) – {\log _{25}}\left( {5x} \right) – 3 = 0$là :
[A]. 3.
[B]. 4.
[C]. 1.
[D]. 2.

Hướng dẫn

PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _5}(5x) – {\log _{25}}(5x) – 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _5}(5x) – \dfrac{1}{2}{\log _5}(5x) – 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\dfrac{1}{2}{\log _5}(5x) – 3 = 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _5}(5x) = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\5x = {5^6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x = {5^5}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = {5^5}$.

[Ẩn HD]

Câu 14. Phương trình\({\log _3}(5x – 3) + {\log _{\dfrac{1}{3}}}({x^2} + 1) = 0\) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) trong đó \({x_1} < {x_2}\).Giá trị của \(P = 2{x_1} + 3{x_2}\) là
[A]. 5.
[B]. 14.
[C]. 3.
[D]. 13.

Hướng dẫn

PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x – 3 > 0\\{\log _3}(5x – 3) + {\log _{\dfrac{1}{3}}}({x^2} + 1) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{3}{5}\\{\log _3}(5x – 3) – {\log _3}({x^2} + 1) = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{3}{5}\\{\log ^{}}_3(5x – 3) = {\log ^{}}_3({x^2} + 1)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{3}{5}\\5x – 3 = {x^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{3}{5}\\{x^2} – 5x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{3}{5}\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.$Vậy \(2{x_1} + 3{x_2} = 2.1 + 3.4 = 14\).

[Ẩn HD]

Câu 15. Hai phương trình \(2{\log _5}(3x – 1) + 1 = {\log _{\sqrt[3]{5}}}(2x + 1)\) và \({\log _2}({x^2} – 2x – 8) = 1 – {\log _{\dfrac{1}{2}}}(x + 2)\) lần lượt có 2 nghiệm duy nhất là \({x_1},{x_2}\). Tổng \({x_1} + {x_2}\) là?
[A]. 8.
[B]. 6.
[C]. 4.
[D]. 10.

Hướng dẫn

PT1:\(2{\log _5}(3x – 1) + 1 = {\log _{\sqrt[3]{5}}}(2x + 1)\)
PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x – 1 > 0\\2x + 1 > 0\\2{\log _5}(3x – 1) + 1 = {\log _{\sqrt[3]{5}}}(2x + 1)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{3}\\{\log _5}{(3x – 1)^2} + {\log _5}5 = 3{\log _5}(2x + 1)\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{3}\\{\log _5}5{(3x – 1)^2} = {\log _5}{(2x + 1)^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{3}\\5{(3x – 1)^2} = {(2x + 1)^3}\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{3}\\5(9{x^2} – 6x + 1) = 8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{3}\\8{x^3} – 33{x^2} + 36x – 4 = 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{3}\\\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{8}\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} = 2$
PT2:\({\log _2}({x^2} – 2x – 8) = 1 – {\log _{\dfrac{1}{2}}}(x + 2)\)
PT\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 2x – 8 > 0\\x + 2 > 0\\{\log _2}({x^2} – 2x – 8) = 1 – {\log _{\dfrac{1}{2}}}(x + 2)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < – 2 \vee x > 4\\x > – 2\\{\log _2}({x^2} – 2x – 8) = 1 + {\log _2}(x + 2)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 4\\{\log _2}({x^2} – 2x – 8) = {\log _2}2(x + 2)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 4\\{x^2} – 2x – 8 = 2(x + 2)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 4\\{x^2} – 4x – 12 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 4\\\left[ \begin{array}{l}x = – 2\\x = 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow {x_2} = 6\)
Vậy \({x_1} + {x_2} = 2 + 6 = 8\).

[Ẩn HD]

Câu 16. Gọi ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${\log _x}2 – {\log _{16}}x = 0$. Khi đó tích${x_1}.{x_2}$ bằng:
[A]. – 1.
[B]. 1.
[C]. 2.
[D]. – 2.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện:\(0 < x \ne 1\)
PT$ \Leftrightarrow {\log _x}2 – {\log _{16}}x = 0 \Leftrightarrow {\log _x}2 – {\log _{{2^4}}}x = 0 \Leftrightarrow {\log _x}2 – \dfrac{1}{4}{\log _2}x = 0$
$ \Leftrightarrow {\log _x}2 – \dfrac{1}{{4{{\log }_x}2}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{4{{({{\log }_x}2)}^2} – 1}}{{4{{\log }_x}2}} = 0 \Leftrightarrow 4{({\log _x}2)^2} – 1 = 0$
$ \Leftrightarrow {({\log _x}2)^2} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _x}2 = \dfrac{1}{2}\\{\log _x}2 = – \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 = {x^{\dfrac{1}{2}}}\\2 = {x^{ – \dfrac{1}{2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 4\\{x_2} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$
Vậy \({x_1}.{x_2} = 4.\dfrac{1}{4} = 1\).
[Phương pháp trắc nghiệm]
Đáp án B,D có tích âm thì có thể \({x_1} < 0\)hoặc\({x_2} < 0\)thì không thỏa mãn điều kiện của \(x\)nên loại.

[Ẩn HD]

Câu 17. Nếu đặt \(t = {\log _2}x\) thì phương trình\(\dfrac{1}{{5 – {{\log }_2}x}} + \dfrac{2}{{1 + {{\log }_2}x}} = 1\) trở thành phương trình nào?
[A]. \({t^2} – 5t + 6 = 0\).
[B]. \({t^2} + 5t + 6 = 0\).
[C]. \({t^2} – 6t + 5 = 0\).
[D]. \({t^2} + 6t + 5 = 0\).

Hướng dẫn

Đặt \(t = {\log _2}x\)
PT$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{5 – t}} + \dfrac{2}{{1 + t}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{1 + t + 2(5 – t)}}{{(5 – t)(1 + t)}} = 1 \Leftrightarrow 1 + t + 2(5 – t) = (5 – t)(1 + t)$
$ \Leftrightarrow 11 – t = 5 + 4t – {t^2} \Leftrightarrow {t^2} – 5t + 6 = 0$.

[Ẩn HD]

Câu 18. Nếu đặt \(t = \lg x\) thì phương trình$\dfrac{1}{{4 – \lg x}} + \dfrac{2}{{2 + \lg x}} = 1$ trở thành phương trình nào?
[A]. \({t^2} + 2t + 3 = 0\).
[B]. \({t^2} – 3t + 2 = 0\).
[C]. \({t^2} – 2t + 3 = 0\).
[D]. \({t^2} + 3t + 2 = 0\).

Hướng dẫn

Đặt \(t = \lg x\)
PT$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{4 – t}} + \dfrac{2}{{2 + t}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{2 + t + 2(4 – t)}}{{(4 – t)(2 + t)}} = 1 \Leftrightarrow 2 + t + 2(4 – t) = (4 – t)(2 + t)$
$ \Leftrightarrow 10 – t = 8 + 2t – {t^2} \Leftrightarrow {t^2} – 3t + 2 = 0$.

[Ẩn HD]

Câu 19. Nghiệm bé nhất của phương trình \({\log _2}^3x – 2{\log ^2}_2x = {\log _2}x – 2\) là:
[A]. \(x = 4\).
[B]. $x = \dfrac{1}{4}$.
[C]. x = 2.
[D]. $x = \dfrac{1}{2}$.

Hướng dẫn

TXĐ:x > 0
PT$ \Leftrightarrow {\log _2}^3x – 2{\log _2}^2x = {\log _2}x – 2 \Leftrightarrow {\log _2}^3x – 2{\log _2}^2x – {\log _2}x + 2 = 0$
$ \Leftrightarrow {\log _2}^3x – {\log _2}x – 2{\log _2}^2x + 2 = 0 \Leftrightarrow {\log _2}x({\log ^2}_2x – 1) – 2({\log ^2}_2x – 1) = 0$
$ \Leftrightarrow ({\log ^2}_2x – 1)({\log _2}x – 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log ^2}_2x – 1 = 0\\{\log _2}x – 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 1\\{\log _2}x = – 1\\{\log _2}x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \dfrac{1}{2}\\x = 4\end{array} \right.$
$ \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$là nghiệm nhỏ nhất.

[Ẩn HD]

Câu 20. Điều kiện xác định của bất phương trình \({\log _{\dfrac{1}{2}}}(4x + 2) – {\log _{\dfrac{1}{2}}}(x – 1) > lo{g_{\dfrac{1}{2}}}x\)là:
[A]. $x > – \dfrac{1}{2}$.
[B]. x > 0.
[C]. x > 1.
[D]. x > – 1.

Hướng dẫn

BPT xác định khi:\(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\4x + 2 > 0\\x – 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > – \dfrac{1}{2}\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\).

[Ẩn HD]

Câu 21. Điều kiện xác định của bất phương trình \({\log _2}(x + 1) – 2{\log _4}(5 – x) < 1 – {\log _2}(x – 2)\)là:
[A]. 2 < x < 5.
[B]. 1 < x < 2.
[C]. 2 < x < 3.
[D]. – 4 < x < 3.

Hướng dẫn

BPT xác định khi :$\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\5 – x > 0\\x – 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > – 1\\x < 5\\x > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < x < 5$.

[Ẩn HD]

Câu 22. Điều kiện xác định của bất phương trình \({\log _{\dfrac{1}{2}}}\left[ {{{\log }_2}(2 – {x^2})} \right] > 0\)là:
[A]. \(x \in {\rm{[}} – 1;1]\).
[B]. \(x \in \left( { – 1;0} \right) \cup \left( {0;1} \right)\).
[C]. \(x \in \left( { – 1;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
[D]. \(x \in \left( { – 1;1} \right)\).

Hướng dẫn

BPT xác định khi :$\left\{ \begin{array}{l}2 – {x^2} > 0\\{\log _2}(2 – {x^2}) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \\2 – {x^2} > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \\1 – {x^2} > 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \\ – 1 < x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow – 1 < x < 1$.

[Ẩn HD]

Câu 23. Bất phương trình${\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \le 2$ có tập nghiệm là:
[A]. ${\rm{[}}0; + \infty )$.
[B]. \(( – \infty ;0)\).
[C]. $( – \infty ;0]$.
[D]. $\left( {0; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn

Xét \(x > 0 \Rightarrow {2^x} > {2^0} = 1 \Rightarrow {2^x} + 1 > 2 \Rightarrow {\log _2}\left( {{2^x} + 1} \right) > {\log _2}2 = 1\left( 1 \right)\)
\(x > 0 \Rightarrow {4^x} > {4^0} = 1 \Rightarrow {4^x} + 2 > 2 + 1 = 3 \Rightarrow {\log _3}\left( {{4^x} + 2} \right) > {\log _3}3 = 1\left( 2 \right)\)
Cộng vế với vế của\(\left( 1 \right)\)và\(\left( 2 \right)\)ta được:${\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) > 2$
Mà BPT: ${\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \le 2$ nên \(x > 0\left( {loai} \right)\)
Xét \(x \le 0 \Rightarrow {2^x} \le {2^0} = 1 \Rightarrow {2^x} + 1 \le 2 \Rightarrow {\log _2}\left( {{2^x} + 1} \right) \le {\log _2}2 = 1\left( 3 \right)\)
\(x \le 0 \Rightarrow {4^x} \le {4^0} = 1 \Rightarrow {4^x} + 2 \le 2 + 1 = 3 \Rightarrow {\log _3}\left( {{4^x} + 2} \right) \le {\log _3}3 = 1\left( 4 \right)\)
Cộng vế với vế của\(\left( 3 \right)\)và\(\left( 4 \right)\)ta được:${\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \le 2\left( {tm} \right)$
Vậy \(x \le 0\)hay \(x \in \left( { – \infty ;0} \right]\).

[Ẩn HD]

Câu 24. Bất phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} – x – 2} \right) \ge {\log _{0,5}}\left( {x – 1} \right) + 1\) có tập nghiệm là:
[A]. \(\left[ {1 + \sqrt 2 ; + \infty } \right)\).
[B]. \(\left[ {1 – \sqrt 2 ; + \infty } \right)\).
[C]. \(\left( { – \infty ;1 + \sqrt 2 } \right]\).
[D]. \(\left( { – \infty ;1 – \sqrt 2 } \right]\).

Hướng dẫn

TXĐ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – x – 2 > 0\\x – 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < – 1 \vee x > 2\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2$
BPT$ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} – x – 2} \right) \ge {\log _{0,5}}\left( {x – 1} \right) + 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} – x – 2} \right) \ge {\log _{{2^{ – 1}}}}\left( {x – 1} \right) + 1$
$ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} – x – 2} \right) + {\log _2}\left( {x – 1} \right) – 1 \ge 0 \Leftrightarrow {\log _2}\dfrac{{\left( {{x^2} – x – 2} \right)\left( {x – 1} \right)}}{2} \ge 0$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{x^2} – x – 2} \right)\left( {x – 1} \right)}}{2} \ge 1 \Leftrightarrow \left( {{x^2} – x – 2} \right)\left( {x – 1} \right) \ge 2 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} – 2x – 1} \right) \ge 0$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 1 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 1 – \sqrt 2 \left( {loai} \right)\\x \ge 1 + \sqrt 2 \left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow x \ge 1 + \sqrt 2 $

[Ẩn HD]

Câu 25. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình \({\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) \ge {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} \right)\) là:
[A]. 6.
[B]. 10.
[C]. 8.
[D]. 9.

Hướng dẫn

BPT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _2}x > 0\\{\log _4}x > 0\\ + {\log _2}\left( {{{\log }_{{2^2}}}x} \right) \ge {\log _{{2^2}}}\left( {{{\log }_2}x} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\ + {\log _2}\left( {\dfrac{1}{2}{{\log }_2}x} \right) \ge \dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right)\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\ + {\log _2}\left( {\dfrac{1}{2}{{\log }_2}x} \right) \ge \dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) – 1 \ge \dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right)\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) \ge 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) \ge 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _2}x \ge 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ge 8\end{array} \right. \Rightarrow x \ge 8$

[Ẩn HD]

Câu 26. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình\({\log _3}\left( {1 – {x^2}} \right) \le {\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {1 – x} \right)\)là:
[A]. x = 0.
[B]. x = 1.
[C]. $x = \dfrac{{1 – \sqrt 5 }}{2}$.
[D]. $x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$.

Hướng dẫn

BPT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 – {x^2} > 0\\1 – x > 0\\{\log _3}\left( {1 – {x^2}} \right) \le – {\log _3}\left( {1 – x} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 < x < 1\\x < 1\\{\log _3}\left( {1 – {x^2}} \right) + {\log _3}\left( {1 – x} \right) \le 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 < x < 1\\{\log _3}\left( {1 – {x^2}} \right)\left( {1 – x} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 < x < 1\\{\log _3}\left( {1 – {x^2}} \right)\left( {1 – x} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 < x < 1\\\left( {1 – {x^2}} \right)\left( {1 – x} \right) \le 1\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 < x < 1\\x({x^2} – x – 1) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 < x < 1\\x \le \dfrac{{1 – \sqrt 5 }}{2} \vee 0 \le x \le \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow – 1 < x \le \dfrac{{1 – \sqrt 5 }}{2} \vee 0 \le x < 1$
\( \Rightarrow x = 0\)là nghiệm nguyên nhỏ nhất.

[Ẩn HD]

Câu 27. tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}({x^2} – 3x + 1) \le 0\) là:
[A]. \(S = \left[ {0;\dfrac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2};3} \right]\).
[B]. \(S = \left( {0;\dfrac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2};3} \right)\) .
[C]. \(S = \left[ {\dfrac{{3 – \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right]\).
[D]. \(S = \emptyset \).

Hướng dẫn

BPT\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 3x + 1 > 0\\{\log _2}({x^2} – 3x + 1) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 3x + 1 > 0\\{x^2} – 3x + 1 \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 3x + 1 > 0\\{x^2} – 3x + 1 \le 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < \dfrac{{3 – \sqrt 5 }}{2} \vee x > \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\0 \le x \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left[ {0;\dfrac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2};3} \right]\)

[Ẩn HD]

Câu 28. Điều kiện xác định của phương trình \({\log _2}(x – 5) + {\log _3}(x + 2) = 3\)là:
[A]. $x \ge 5$.
[B]. x > – 2.
[C]. – 2 < x < 5.
[D]. x > 5.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
PT xác định khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}x – 5 > 0\\x + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 5\\x > – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 5\)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _2}(X – 5) + {\log _3}(X + 2) – 3\)
Nhấn CALC và cho $X = 1$ máy tính không tính đượ
[C]. Vậy loại đáp án B và
[C].
Nhấn CALC và cho $X = 5$(thuộc đáp án D) máy tính không tính đượ
[C]. Vậy loại
[D].

[Ẩn HD]

Câu 29. Điều kiện xác định của phương trình \(\log ({x^2} – 6x + 7) + x – 5 = \log (x – 3)\)là:
[A]. $x > 3 + \sqrt 2 $.
[B]. x > 3.
[C]. $\left[ \begin{array}{l}x > 3 + \sqrt 2 \\x < 3 – \sqrt 2 \end{array} \right.$.
[D]. $x < 3 – \sqrt 2 $.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 6{\rm{x + 7}} > 0\\x – 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 3 + \sqrt 2 \\x < 3 – \sqrt 2 \end{array} \right.\\x > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 3 + \sqrt 2 \)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \(\log ({X^2} – 6X + 7) + X – 5 – \log (X – 3)\)
Nhấn CALC và cho $X = 1$ máy tính không tính đượ
[C]. Vậy loại đáp án C và [D].
Nhấn CALC và cho x = 4(thuộc đáp án B) máy tính không tính đượ
[C]. Vậy loại [B].

[Ẩn HD]

Câu 30. Phương trình ${\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{\dfrac{1}{3}}}x = 6$có nghiệm là:
[A]. x = 27.
[B]. x = 9.
[C]. $x = {3^{12}}$.
[D]. .$x = {\log _3}6$..

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
${\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{\dfrac{1}{3}}}x = 6 \Leftrightarrow {\log _3}x + 2{\log _3}x – {\log _3}x = 6 \Leftrightarrow {\log _3}x = 3 \Leftrightarrow x = 27$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _3}X + {\log _{\sqrt 3 }}X + {\log _{\dfrac{1}{3}}}X – 6\)
Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng.

[Ẩn HD]

Câu 31. Phương trình $\ln \dfrac{{x – 1}}{{x + 8}} = \ln x$có nghiệm là:
[A]. x = – 2.
[B]. $\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = – 2\end{array} \right.$.
[C]. x = 4.
[D]. x = 1.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
$\ln \dfrac{{x – 1}}{{x + 8}} = \ln x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\dfrac{{x – 1}}{{x + 8}} = x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = – 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \(\ln \dfrac{{X – 1}}{{X + 8}} – \ln X\)
Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng.

[Ẩn HD]

Câu 32. Phương trình $\log _2^2x – 4{\log _2}x + 3 = 0$có tập nghiệm là:
[A]. $\left\{ {8;2} \right\}$.
[B]. $\left\{ {1;3} \right\}$.
[C]. $\left\{ {6;2} \right\}$.
[D]. $\left\{ {6;8} \right\}$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
$\log _2^2x – 4{\log _2}x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 1\\{\log _2}x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 8\end{array} \right.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \(\log _2^2X – 4{\log _2}X + 3\)
Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng.

[Ẩn HD]

Câu 33. Tập nghiệm của phương trình $\dfrac{1}{2}{\log _2}{\left( {x + 2} \right)^2} – 1 = 0$là:
[A]. $\left\{ 0 \right\}$.
[B]. $\left\{ {0; – 4} \right\}$.
[C]. $\left\{ { – 4} \right\}$.
[D]. $\left\{ { – 1;0} \right\}$.

Xem thêm :  Những lời cảm ơn hay nhất trong ngày sinh nhật

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $x \ne – 2$
$pt \Leftrightarrow {\log _2}\left| {x + 2} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {x + 2} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 2\\x + 2 = – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 4\end{array} \right.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \(\dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\left( {X + 2} \right)}^2}} \right) – 1\)
Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng.

[Ẩn HD]

Câu 34. Tập nghiệm của phương trình ${\log _2}\dfrac{1}{x} = {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – 1} \right)$ là:
[A]. $\left\{ {1 + \sqrt 2 } \right\}$.
[B]. $\left\{ {1 + \sqrt 2 ;1 – \sqrt 2 } \right\}$.
[C]. $\left\{ {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{1 – \sqrt 5 }}{2}} \right\}$.
[D]. $\left\{ {1 – \sqrt 2 } \right\}$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0và ${x^2} – x – 1 > 0$
Với điều kiện đó thì ${\log _2}\dfrac{1}{x} = {\log _{\dfrac{1}{2}}}x$ . Phương trình đã cho tương đương phương trình
${\log _{\dfrac{1}{2}}}x = {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = {x^2} – x – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 2 \\x = 1 – \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2 $
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính ${\log _2}\dfrac{1}{X} – {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{X^2} – X – 1} \right)$
Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng.

[Ẩn HD]

Câu 35. Phương trình ${\log _2}\left( {{{3.2}^x} – 1} \right) = 2x + 1$ có bao nhiêu nghiệm?
[A]. 1.
[B]. 2.
[C]. 3.
[D]. 0.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
${\log _2}\left( {{{3.2}^x} – 1} \right) = 2x + 1 \Leftrightarrow {3.2^x} – 1 = {2^{2x + 1}} \Leftrightarrow {2.4^x} – {3.2^x} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 1\\{2^x} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 1\end{array} \right.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _2}\left( {3x{2^X} – 1} \right) – 2X – 1 = 0\)
Ấn SHIFT CALC nhập X=5, ấn = . Máy hiện X=0.
Ấn Alpha X Shift STO A
Ấn A
[C]. Viết lại phương trình: \(\dfrac{{{{\log }_2}\left( {3x{2^X} – 1} \right) – 2X – 1}}{{X – A}} = 0\)
Ấn SHIFT CAL
[C]. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 5 =. Máy hiện X=-1.
Ấn Alpha X Shift STO
[B].
Ấn A
[C]. Viết lại phương trình: $\dfrac{{{{\log }_2}\left( {3{\rm{x}}{2^X} – 1} \right) – 2X – 1}}{{\left( {X – A} \right)\left( {X – B} \right)}} = 0$
Ấn SHIFT CAL
[C]. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi B? Ấn =. Máy hỏi X? Ấn 1=
Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm.

[Ẩn HD]

Câu 36. Số nghiệm của phương trình $\ln \left( {{x^2} – 6{\rm{x}} + 7} \right) = \ln \left( {x – 3} \right)$là:
[A]. 0.
[B]. 2.
[C]. 3.
[D]. 1.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
$\ln \left( {{x^2} – 6x + 7} \right) = \ln \left( {x – 3} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 3 > 0\\{x^2} – 6x + 7 = x – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\{x^2} – 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \(\ln \left( {{X^2} – 6X + 7} \right) – \ln \left( {X – 3} \right) = 0\)
Ấn SHIFT CALC nhập X=4 (chọn X thỏa điều kiện xác định của phương trình), ấn = . Máy hiện X=5.
Ấn Alpha X Shift STO A
Ấn A
[C]. Viết lại phương trình: \(\dfrac{{\ln \left( {{X^2} – 6X + 7} \right) – \ln \left( {X – 3} \right)}}{{X – A}} = 0\)
Ấn SHIFT CAL
[C]. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 7 =.
Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm.

[Ẩn HD]

Câu 37. Nghiệm nhỏ nhất của phương trình $ – {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x – 2} \right).{\log _5}x = 2{\log _3}\left( {x – 2} \right)$ là:
[A]. $\dfrac{1}{5}$.
[B]. 3.
[C]. 2.
[D]. 1.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $x > 2$
$\begin{array}{l} – {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x – 2} \right).{\log _5}x = 2{\log _3}\left( {x – 2} \right) \Leftrightarrow – 2{\log _3}\left( {x – 2} \right).{\log _5}x = 2{\log _3}\left( {x – 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}\left( {x – 2} \right) = 0\\{\log _5}x = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}\left( {x – 2} \right) = 0\\{\log _5}x = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\end{array}$
So điều kiện suy ra phương trình có nghiệm x = 3.
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính $ – {\log _{\sqrt 3 }}\left( {X – 2} \right).{\log _5}X – 2{\log _3}\left( {X – 2} \right)$
Nhấn CALC và cho $X = \dfrac{1}{5}$ (số nhỏ nhất) ta thấy sai. Vậy loại đáp án
[A].
Nhấn CALC và cho $X = 1$ ta thấy sai. Vậy loại đáp án [D].
Nhấn CALC và cho x = 2 ta thấy sai. Vậy loại đáp án [C].

[Ẩn HD]

Câu 38. Nghiệm lớn nhất của phương trình $ – {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 – \log x$ là :
[A]. 100.
[B]. 2.
[C]. 10.
[D]. 1000.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
$ – {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 – \log x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log x = – 1\\\log x = 2\\\log x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{10}}\\x = 100\\x = 10\end{array} \right.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính $ – {\log ^3}X + 2{\log ^2}X – 2 + \log X$
Nhấn CALC và cho $X = 1000$ (số lớn nhất) ta thấy sai. Vậy loại đáp án
[D].
Nhấn CALC và cho $X = 100$ ta thấy đúng.

[Ẩn HD]

Câu 39. Gọi ${x_1},{x_2}$là 2 nghiệm của phương trình\({\log _3}\left( {{x^2} – x – 5} \right) = {\log _3}\left( {2x + 5} \right)\).
Khi đó$\left| {{x_1} – {x_2}} \right|$bằng:
[A]. 5.
[B]. 3.
[C]. – 2.
[D]. 7.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
\({\log _3}\left( {{x^2} – x – 5} \right) = {\log _3}\left( {2x + 5} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} + 5 > 0\\{x^2} – x – 5 = 2x + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > – \dfrac{5}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = – 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = – 2\end{array} \right.\)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm là 5 và –2.

[Ẩn HD]

Câu 40. Gọi ${x_1},{x_2}$là 2 nghiệm của phương trình\(\dfrac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} + \dfrac{2}{{2 – {{\log }_2}x}} = 1\). Khi đó ${x_1}.{x_2}$bằng:
[A]. $\dfrac{1}{2}$.
[B]. $\dfrac{1}{8}$.
[C]. $\dfrac{1}{4}$.
[D]. $\dfrac{3}{4}$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 4\\x \ne \dfrac{1}{{16}}\end{array} \right.$.
Đặt $t = {\log _2}x$,điều kiện$\left\{ \begin{array}{l}t \ne – 4\\t \ne 2\end{array} \right.$. Khi đó phương trình trở thành:
$\dfrac{1}{{4 + t}} + \dfrac{2}{{2 – t}} = 1 \Leftrightarrow {t^2} + 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – 1\\t = – 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$
Vậy ${x_1}.{x_2} = \dfrac{1}{8}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm là $\dfrac{1}{2}$và $\dfrac{1}{4}$.

[Ẩn HD]

Câu 41. Gọi ${x_1},{x_2}$là 2 nghiệm của phương trình\({\log _2}\left[ {x\left( {x + 3} \right)} \right] = 1\). Khi đó${x_1} + {x_2}$bằng:
[A]. – 3.
[B]. – 2.
[C]. $\sqrt {17} $.
[D]. $\dfrac{{ – 3 + \sqrt {17} }}{2}$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $\left[ \begin{array}{l}x < – 3\\x > 0\end{array} \right.$
\({\log _2}\left[ {x\left( {x + 3} \right)} \right] = 1 \Leftrightarrow x\left( {x + 3} \right) = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x – 2 = 0\)
Vậy${x_1} + {x_2} = – 3.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm và lưu 2 nghiệm vào A và
[B]. Tính A + B = – 3.

[Ẩn HD]

Câu 42. Nếu đặt $t = {\log _2}x$thì phương trình ${\log _2}\left( {4x} \right) – {\log _x}2 = 3$trở thành phương trình nào?
[A]. ${t^2} – t – 1 = 0$.
[B]. $4{t^2} – 3t – 1 = 0$.
[C]. $t + \dfrac{1}{t} = 1$.
[D]. $2t – \dfrac{1}{t} = 3$.

Hướng dẫn

${\log _2}\left( {4x} \right) – {\log _x}2 = 3 \Leftrightarrow {\log _2}4 + {\log _2}x – \dfrac{1}{{{{\log }_2}x}} = 3 \Leftrightarrow \log _2^2x – {\log _2}x – 1 = 0$

[Ẩn HD]

Câu 43. Nếu đặt $t = \log x$thì phương trình ${\log ^2}{x^3} – 20\log \sqrt x + 1 = 0$trở thành phương trình nào?
[A]. $9{t^2} – 20\sqrt t + 1 = 0$.
[B]. $3{t^2} – 20t + 1 = 0$.
[C]. $9{t^2} – 10t + 1 = 0$.
[D]. $3{t^2} – 10t + 1 = 0$.

Hướng dẫn

${\log ^2}{x^3} – 20\log \sqrt x + 1 = 0 \Leftrightarrow 9{\log ^2}x – 10\log x + 1 = 0$

[Ẩn HD]

Câu 44. Cho bất phương trình $\dfrac{{1 – {{\log }_9}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} \le \dfrac{1}{2}$. Nếu đặt $t = {\log _3}x$ thì bất phương trình trở thành:
[A]. $2\left( {1 – 2t} \right) \le 1 + t$.
[B]. $\dfrac{{1 – 2t}}{{1 + t}} \le \dfrac{1}{2}$.
[C]. $1 – \dfrac{1}{2}t \le \dfrac{1}{2}\left( {1 + t} \right)$.
[D]. $\dfrac{{2t – 1}}{{1 + t}} \ge 0$.

Hướng dẫn

$\dfrac{{1 – {{\log }_9}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{1 – \dfrac{1}{2}{{\log }_3}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{2 – {{\log }_3}x}}{{2\left( {1 + {{\log }_3}x} \right)}} \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 1 – \dfrac{{2 – {{\log }_3}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2{{\log }_3}x – 1}}{{1 + {{\log }_3}x}} \ge 0$

[Ẩn HD]

Câu 45. Điều kiện xác định của bất phương trình \({\log _5}(x – 2) + {\log _{\dfrac{1}{5}}}(x + 2) > {\log _5}x – 3\) là:
[A]. x > 3.
[B]. x > 2.
[C]. x > – 2.
[D]. x > 0.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x – 2 > 0\\x + 2 > 0\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x > – 2\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2\)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _5}(X – 2) + {\log _{\dfrac{1}{5}}}(X + 2) – {\log _5}X + 3\)
Nhấn CALC và cho $X = 1$ máy tính không tính được. Vậy loại đáp án C và
[D].
Nhấn CALC và cho $X = \dfrac{5}{2}$(thuộc đáp án B) máy tính hiển thị 1,065464369.

[Ẩn HD]

Câu 46. Điều kiện xác định của bất phương trình \({\log _{0,5}}(5{\rm{x}} + 15) \le {\log _{0,5}}\left( {{x^2} + 6{\rm{x}} + 8} \right)\) là:
[A]. x > – 2.
[B]. \(\left[ \begin{array}{l}x < – 4\\x > – 2\end{array} \right.\).
[C]. x > – 3.
[D]. \( – 4 < x < – 2\).

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 15 > 0\\{x^2} + 6{\rm{x}} + 8 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > – 3\\\left[ \begin{array}{l}x > – 2\\x < – 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > – 2\)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _{0,5}}(5X + 15) – {\log _{0,5}}({X^2} + 6{\rm{X}} + 8)\)
Nhấn CALC và cho $X = – 3,5$ máy tính không tính được. Vậy loại đáp án C và
[D].
Nhấn CALC và cho $X = – 5$(thuộc đáp án B) máy tính không tính được.
Vậy loại B, chọn
[A].

[Ẩn HD]

Câu 47. Điều kiện xác định của bất phương trình \(\ln \dfrac{{{x^2} – 1}}{x} < 0\) là:
[A]. \(\left[ \begin{array}{l} – 1 < x < 0\\x > 1\end{array} \right.\).
[B]. \(x > – 1\).
[C]. x > 0.
[D]. \(\left[ \begin{array}{l}x < – 1\\x > 1\end{array} \right.\).

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: \(\dfrac{{{x^2} – 1}}{x} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 1 < x < 0\\x > 1\end{array} \right.\)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \(\ln \dfrac{{{X^2} – 1}}{X}\)
Nhấn CALC và cho x = – 0,5 (thuộc đáp án A và B) máy tính hiển thị 0,4054651081. Vậy loại đáp án C và
[D].
Nhấn CALC và cho $X = 0,5$(thuộc đáp án B) máy tính không tính đượ
[C]. Vậy loại B, chọn
[A].

[Ẩn HD]

Câu 48. Bất phương trình $\log _{0,2}^2x – 5{\log _{0,2}}x < – 6$có tập nghiệm là:
[A]. $S = \left( {\dfrac{1}{{125}};\dfrac{1}{{25}}} \right)$.
[B]. $S = \left( {2;3} \right)$.
[C]. $S = \left( {0;\dfrac{1}{{25}}} \right)$.
[D]. $S = \left( {0;3} \right)$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
$\log _{0,2}^2 – 5{\log _{0,2}}x < – 6 \Leftrightarrow 2 < {\log _{0,2}}x < 3 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{125}} < x < \dfrac{1}{{25}}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\left( {\log _{0,2}^{}X} \right)^2} – 5{\log _{0,2}}X + 6\)
Nhấn CALC và cho $X = 2,5$ (thuộc đáp án B và D) máy tính hiển thị 9.170746391. Vậy loại đáp án B và
[D].
Nhấn CALC và cho $X = \dfrac{1}{{200}}$(thuộc đáp án C) máy tính hiển thị 0,3773110048.

[Ẩn HD]

Câu 49. Vậy loại C, chọn
[A]. Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {{x^2} – 6x + 5} \right) + {\log _3}\left( {x – 1} \right) \ge 0$là:
[A]. $S = \left[ {1;6} \right]$.
[B]. $S = \left( {5;6} \right]$.
[C]. $S = \left( {5; + \infty } \right)$.
[D]. $S = \left( {1; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
${\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {{x^2} – 6x + 5} \right) + {\log _3}\left( {x – 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x – 1} \right) \ge {\log _3}\left( {{x^2} – 6x + 5} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 6x + 5 > 0\\x – 1 \ge {x^2} – 6x + 5\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 1 \vee x > 5\\1 \le x \le 6\end{array} \right. \Leftrightarrow 5 < x \le 6$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {{X^2} – 6{\rm{X}} + 5} \right) + {\log _3}\left( {X – 1} \right)\)
Nhấn CALC và cho x = 2 (thuộc đáp án A và D) máy tính không tính được. Vậy loại đáp án A và
[D].
Nhấn CALC và cho $X = 7$(thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 0,6309297536.
Vậy loại C, chọn
[B].

[Ẩn HD]

Câu 50. Bất phương trình ${\log _{\dfrac{2}{3}}}\left( {2{x^2} – x + 1} \right) < 0$có tập nghiệm là:
[A]. $S = \left( {0;\dfrac{3}{2}} \right)$.
[B]. $S = \left( { – 1;\dfrac{3}{2}} \right)$.
[C]. $S = \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)$.
[D]. $S = \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
${\log _{\dfrac{2}{3}}}\left( {2{x^2} – x + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow 2{x^2} – x + 1 > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _{\dfrac{2}{3}}}\left( {2{X^2} – X + 1} \right)\)
Nhấn CALC và cho $X = – 5$ (thuộc đáp án A và D) máy tính hiển thị – 9,9277…. Vậy loại đáp án A và
[B].
Nhấn CALC và cho $X = 1$(thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 1,709511291. Vậy chọn
[C].

[Ẩn HD]

Câu 51. Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _3}\dfrac{{4x + 6}}{x} \le 0$là:
[A]. $S = \left[ { – 2; – \dfrac{3}{2}} \right)$.
[B]. $S = \left[ { – 2;0} \right)$.
[C]. $S = \left( { – \infty ;2} \right]$.
[D]. $S = \mathbb{R}\backslash \left[ { – \dfrac{3}{2};0} \right]$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
${\log _3}\dfrac{{4{\rm{x}} + 6}}{x} \le 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{4{\rm{x}} + 6}}{x} > 0\\\dfrac{{4{\rm{x}} + 6}}{x} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < – \dfrac{3}{2} \vee x > 0\\ – 2 \le x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow – 2 \le x < – \dfrac{3}{2}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _3}\dfrac{{4X + 6}}{X}\)
Nhấn CALC và cho $X = 1$ (thuộc đáp án C và D) máy tính hiển thị 2,095903274. Vậy loại đáp án C và
[D].
Nhấn CALC và cho $X = – 1$(thuộc đáp án B) máy tính không tính đượ
[C]. Vậy loại B, chọn
[A].

[Ẩn HD]

Câu 52. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình ${\log _{0,2}}x – {\log _5}\left( {x – 2} \right) < {\log _{0,2}}3$ là:
[A]. x = 6.
[B]. x = 3.
[C]. x = 5.
[D]. x = 4.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $x > 2$
${\log _{0,2}}x – {\log _5}\left( {x – 2} \right) < {\log _{0,2}}3 \Leftrightarrow {\log _{0,2}}\left[ {x\left( {x – 2} \right)} \right] < {\log _{0,2}}3 \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < – 1\\x > 3\end{array} \right.$
So điều kiện suy ra $x > 3$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _{0,2}}X – {\log _5}\left( {X – 2} \right) – {\log _{0,2}}3\)
Nhấn CALC và cho $X = 3$ (nhỏ nhất) máy tính hiển thị 0. Vậy loại đáp án [B].
Nhấn CALC và cho x = 4 máy tính hiển thị -0.6094234797.Vậy chọn
[D].

[Ẩn HD]

Câu 53. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình ${\log _3}\left( {{{4.3}^{x – 1}}} \right) > 2x – 1$ là:
[A]. x = 3.
[B]. x = 2.
[C]. x = 1.
[D]. x = – 1.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
${\log _3}\left( {{{4.3}^{x – 1}}} \right) > 2x – 1 \Leftrightarrow {4.3^{x – 1}} > {3^{2x – 1}} \Leftrightarrow {3^{2x}} – {4.3^x} < 0 \Leftrightarrow 0 < {3^x} < 4 \Leftrightarrow x < {\log _3}4$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính ${\log _3}\left( {{{4.3}^{X – 1}}} \right) – 2X + 1$
Nhấn CALC và cho $X = 3$ (lớn nhất) máy tính hiển thị –1.738140493. Vậy loại đáp án [A].
Nhấn CALC và cho x = 2 máy tính hiển thị – 0.7381404929. Vậy loại
[B].
Nhấn CALC và cho $X = 1$ máy tính hiển thị 0.2618595071. Vậy chọn
[C].

[Ẩn HD]

Câu 54. Điều kiện xác định của phương trình ${\log _2}\left[ {3{{\log }_2}\left( {3x – 1} \right) – 1} \right] = x$ là:
[A]. $x > \dfrac{{\sqrt[3]{2} + 1}}{3}$.
[B]. $x \ge \dfrac{1}{3}$.
[C]. x > 0.
[D]. $x \in (0; + \infty )\backslash {\rm{\{ }}1\} $.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Biểu thức ${\log _2}\left[ {3{{\log }_2}\left( {3x – 1} \right) – 1} \right] = x$ xác định khi và chỉ khi:
$\left\{ \begin{array}{l}3{\log _2}\left( {3x – 1} \right) – 1 > 0\\3x – 1 > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {3x – 1} \right) > \dfrac{1}{3}\\x > \dfrac{1}{3}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x – 1 > {2^{\dfrac{1}{3}}}\\x > \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{{{2^{\dfrac{1}{3}}} + 1}}{3}\\x > \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \dfrac{{{2^{\dfrac{1}{3}}} + 1}}{3}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay \(x = \dfrac{1}{3}\)(thuộc B, C, D) vào biểu thức ${\log _2}\left( {3x – 1} \right)$ được \({\log _2}(0)\) không xác định, vậy loại B, C, D, chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 55. Điều kiện xác định của phương trình ${\log _2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = {\log _6}\left| {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right|$ là:
[A]. $x \le – 1$.
[B]. $x \ge 1$.
[C]. $x > 0,x \ne 1$.
[D]. $x \le – 1$ hoặc $x \ge 1$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Phương trình xác định khi và chỉ khi : $\left\{ \begin{array}{l}x – \sqrt {{x^2} – 1} > 0\\x + \sqrt {{x^2} – 1} > 0\\{x^2} – 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay x = – 1(thuộc A, D) vào biểu thức ${\log _2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right)$ được \({\log _2}( – 1)\) không xác định, Thay \(x = \dfrac{1}{2}\)(thuộc C) vào biểu thức $\sqrt {{x^2} – 1} $ được \(\sqrt {\dfrac{{ – 3}}{4}} \) không xác định
Vậy loại A, C, D chọn đáp án [B].

[Ẩn HD]

Câu 56. Nghiệm nguyên của phương trình ${\log _2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = {\log _6}\left| {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right|$ là:
[A]. x = 1.
[B]. x = – 1.
[C]. x = 2.
[D]. x = 3.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $x \ge 1$
$\begin{array}{l}{\log _2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = {\log _6}\left| {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right|\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = {\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}6.{\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right).{\log _3}6.{\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) – {\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = 0\end{array}$
Đặt $t = {\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right)$ ta được
$\begin{array}{l}{\log _2}6.{\log _3}6.{t^2} – t = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \dfrac{1}{{{{\log }_2}6.{{\log }_3}6}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = 0\\{\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = \dfrac{1}{{{{\log }_2}6.{{\log }_3}6}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = 1{\rm{ }}\left( 1 \right)\\{\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = {\log _6}3{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {{x^2} – 1} = 1\\x – \sqrt {{x^2} – 1} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 \in \mathbb{Z}\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {{x^2} – 1} = {2^{{{\log }_6}3}}\\x – \sqrt {{x^2} – 1} = {2^{ – {{\log }_6}3}}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{{2^{{{\log }_6}3}} + {2^{ – {{\log }_6}3}}}}{2} \notin \mathbb{Z}\end{array}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay \(x = 1\) vào phương trình ta được \(VT = VP\) chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 57. Nếu đặt $t = {\log _2}x$ thì bất phương trình $\log _2^4x – \log _{\dfrac{1}{2}}^2\left( {\dfrac{{{x^3}}}{8}} \right) + 9{\log _2}\left( {\dfrac{{32}}{{{x^2}}}} \right) < 4\log _{{2^{ – 1}}}^2\left( x \right)$ trở thành bất phương trình nào?
[A]. ${t^4} + 13{t^2} + 36 < 0$.
[B]. ${t^4} – 5{t^2} + 9 < 0$.
[C]. ${t^4} – 13{t^2} + 36 < 0$.
[D]. ${t^4} – 13{t^2} – 36 < 0$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
$\begin{array}{l}\log _2^4x – \log _{\dfrac{1}{2}}^2\left( {\dfrac{{{x^3}}}{8}} \right) + 9{\log _2}\left( {\dfrac{{32}}{{{x^2}}}} \right) < 4\log _{{2^{ – 1}}}^2\left( x \right)\\ \Leftrightarrow \log _2^4x – {\left( {3{{\log }_2}x – 3} \right)^2} + 9\left( {5 – 2{{\log }_2}x} \right) – 4\log _2^2x < 0\\ \Leftrightarrow \log _2^4x – 13\log _2^2x + 36 < 0\end{array}$

[Ẩn HD]

Câu 58. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình $\log _2^4x – \log _{\dfrac{1}{2}}^2\left( {\dfrac{{{x^3}}}{8}} \right) + 9{\log _2}\left( {\dfrac{{32}}{{{x^2}}}} \right) < 4\log _{{2^{ – 1}}}^2\left( x \right)$ là:
[A]. x = 7.
[B]. x = 8.
[C]. x = 4.
[D]. x = 1.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
$\begin{array}{l}\log _2^4x – \log _{\dfrac{1}{2}}^2\left( {\dfrac{{{x^3}}}{8}} \right) + 9{\log _2}\left( {\dfrac{{32}}{{{x^2}}}} \right) < 4\log _{{2^{ – 1}}}^2\left( x \right)\\ \Leftrightarrow \log _2^4x – {\left( {3{{\log }_2}x – 3} \right)^2} + 9\left( {5 – 2{{\log }_2}x} \right) – 4\log _2^2x < 0\\ \Leftrightarrow \log _2^4x – 13\log _2^2x + 36 < 0\\ \Leftrightarrow 4 < \log _2^2x < 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 < {\log _2}x < 3\\ – 3 < {\log _2}x < – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 < x < 8\\\dfrac{1}{8} < x < \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\end{array}$
chọn đáp án [A].
[Phương pháp trắc nghiệm]
Lần lượt thay \(x = 7;x = 8;x = 4;x = 1\)thấy \(x = 7\)đúng, chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 59. Bất phương trình ${\log _x}\left( {{{\log }_3}\left( {{9^x} – 72} \right)} \right) \le 1$ có tập nghiệm là:
[A]. $S = \left[ {{{\log }_3}\sqrt {73} ;2} \right]$.
[B]. $S = \left( {{{\log }_3}\sqrt {72} ;2} \right]$.
[C]. $S = \left( {{{\log }_3}\sqrt {73} ;2} \right]$.
[D]. $S = \left( { – \infty ;2} \right]$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện $x > {\log _3}\sqrt {73} $
${\log _x}\left( {{{\log }_3}\left( {{9^x} – 72} \right)} \right) \le 1 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{9^x} – 72} \right) \le x \Leftrightarrow {9^x} – {3^x} – 72 \le 0 \Leftrightarrow {3^x} \le 9 \Leftrightarrow x \le 2$
Chọn đáp án [A].
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay \(x = {\log _3}\sqrt {73} \)(thuộc B, C, D) vào biểu thức ${\log _x}\left( {{{\log }_3}\left( {{9^x} – 72} \right)} \right)$ được \({\log _x}(0)\) không xác định, vậy loại B, C, D, chọn đáp án [A].

Xem thêm :  Soạn bài bài ca phong cảnh hương sơn

[Ẩn HD]

Câu 60. Gọi ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình${\log _2}\left[ {x\left( {x – 1} \right)} \right] = 1$. Khi đó tích \({x_1}.{x_2}\) bằng:
[A]. – 2.
[B]. 1.
[C]. – 1.
[D]. 2.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện $x < 0$hoặc $x > 1$
${\log _2}\left[ {x\left( {x – 1} \right)} \right] = 1 \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = – 1\\{x_2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} = – 2$
Vậy chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 61. Nếu đặt $t = {\log _2}\left( {{5^x} – 1} \right)$ thì phương trình ${\log _2}\left( {{5^x} – 1} \right).{\log _4}\left( {{{2.5}^x} – 2} \right) = 1$ trở thành phương trình nào?
[A]. ${t^2} + t – 2 = 0$.
[B]. $2{t^2} = 1$.
[C]. ${t^2} – t – 2 = 0$.
[D]. ${t^2} = 1$.

Hướng dẫn

Điều kiện: x > 0
$\begin{array}{l}{\log _2}\left( {{5^x} – 1} \right).{\log _4}\left( {{{2.5}^x} – 2} \right) = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^x} – 1} \right).\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {{5^x} – 1} \right)} \right] – 2 = 0\end{array}$
Vậy chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 62. Số nghiệm của phương trình ${\log _4}\left( {x + 12} \right).{\log _x}2 = 1$ là:
[A]. 0.
[B]. 2.
[C]. 3.
[D]. 1.

Hướng dẫn

Điều kiện : $0 < x \ne 1$
${\log _4}\left( {x + 12} \right).{\log _x}2 = 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 12} \right) = {\log _2}{x^2} \Leftrightarrow – {x^2} + x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 3\\x = 4\end{array} \right.$
Loại $x = – 3$ chọn đáp án A

[Ẩn HD]

Câu 63. Phương trình $\log _5^2(2x – 1) – 8{\log _5}\sqrt {2x – 1} + 3 = 0$ có tập nghiệm là:
[A]. \(\left\{ { – 1; – 3} \right\}\).
[B]. \(\left\{ {1;3} \right\}\).
[C]. \(\left\{ {3;63} \right\}\).
[D]. \(\left\{ {1;2} \right\}\).

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện : \(x > \dfrac{1}{2}\)
$\begin{array}{l}\log _5^2(2x – 1) – 8{\log _5}\sqrt {2x – 1} + 3 = 0 \Leftrightarrow \log _5^2(2x – 1) – 4{\log _5}\left( {2x – 1} \right) + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _5}\left( {2x – 1} \right) = 1\\{\log _5}\left( {2x – 1} \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 63\end{array} \right.\end{array}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay \(x = 1\)(thuộc B, D) vào vế trái ta được \(3 = 0\) vô lý, vậy loại B, D,
Thay x = – 1vào \({\log _5}\left( {2x – 1} \right)\)ta được \({\log _5}\left( { – 3} \right)\)không xác định, nên loại A
Vậy chọn đáp án [C].

[Ẩn HD]

Câu 64. Nếu đặt $t = {\log _3}\dfrac{{x – 1}}{{x + 1}}$ thì bất phương trình ${\log _4}{\log _3}\dfrac{{x – 1}}{{x + 1}} < {\log _{\dfrac{1}{4}}}{\log _{\dfrac{1}{3}}}\dfrac{{x + 1}}{{x – 1}}$ trở thành bất phương trình nào?
[A]. $\dfrac{{{t^2} – 1}}{t} < 0$.
[B]. ${t^2} – 1 < 0$.
[C]. $\dfrac{{{t^2} – 1}}{t} > 0$.
[D]. $\dfrac{{{t^2} + 1}}{t} < 0$.

Hướng dẫn

Điều kiện: \(x \in ( – \infty ; – 1) \cup (1; + \infty )\)
Sau khi đưa về cùng cơ số 4, rồi tiếp tục biến đổi về cùng cơ số 3 ta được bất phương trình
${\log _3}\dfrac{{x – 1}}{{x + 1}} – \dfrac{1}{{{{\log }_3}\dfrac{{x – 1}}{{x + 1}}}} < 0$
Chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 65. Phương trình ${\log _{2x – 3}}\left( {3{x^2} – 7x + 3} \right) – 2 = 0$ có nghiệm là:
[A]. x = 2;x = 3.
[B]. x = 2.
[C]. x = 3.
[D]. x = 1;x = 5.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện \(x > \dfrac{3}{2};x \ne 2\)
${\log _{2x – 3}}\left( {3{x^2} – 7x + 3} \right) – 2 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 7x + 3 = {\left( {2x – 3} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right.$
Lần lượt thay \(x = 1;x = 2\)(thuộc B,A, D) vào vê trái ta được đẳng thức sai, vậy loại B, A,
[D]. Vậy chọn đáp án [C].

[Ẩn HD]

Câu 66. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình \({\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} \right)\) là:
[A]. 18.
[B]. 16.
[C]. 15.
[D]. 17.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: \(x > 1\)
${\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) > 2 \Leftrightarrow {\log _2}x > 4 \Leftrightarrow x > 16$
Phương pháp trắc nghiệm]
Thay \(x = 16;15\)(thuộc B, C) vào phương trình ta được bất dẳng thức sai nên loại B, C
Thay \(x = 17;18\) vào phương trình ta được bất đẳng thức đúng
Vậy chọn đáp án [D].

[Ẩn HD]

Câu 67. Phương trình $\dfrac{1}{{4 – \ln x}} + \dfrac{2}{{2 + \ln x}} = 1$ có tích các nghiệm là:
[A]. \({e^3}\).
[B]. \(\dfrac{1}{e}\).
[C]. e.
[D]. 2.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: \(x > 0,x \ne {e^{ – 2}};x \ne {e^4}\)
$\dfrac{1}{{4 – \ln x}} + \dfrac{2}{{2 + \ln x}} = 1 \Leftrightarrow {\ln ^2}x – 3\ln x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln x = 1\\\ln x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = e\\x = {e^2}\end{array} \right.$
Vậy chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 68. Phương trình $9{x^{{{\log }_9}x}} = {x^2}$ có bao nhiêu nghiệm?
[A]. 1.
[B]. 0.
[C]. 2.
[D]. 3.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện : $x > 0;x \ne 1$
$9{x^{{{\log }_9}x}} = {x^2} \Leftrightarrow {\log _9}\left( {9{x^{{{\log }_9}x}}} \right) = {\log _9}\left( {{x^2}} \right) \Leftrightarrow 1 + \log _9^2x – 2{\log _9}x = 0 \Leftrightarrow {\log _9}x = 1 \Leftrightarrow x = 9$
Vậy chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 69. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình \({\log _x}3 – {\log _{\dfrac{x}{3}}}3 < 0\) là:
[A]. x = 3.
[B]. x = 1.
[C]. x = 2.
[D]. x = 4.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện : $x > 0;x \ne 1;x \ne 3$
\({\log _x}3 – {\log _{\dfrac{x}{3}}}3 < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ – 1}}{{{{\log }_3}x.\left( {{{\log }_3}x – 1} \right)}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}x < 0\\{\log _3}x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x < 1\\x > 3\end{array} \right.\)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Loại B, A vì \(x \ne 1;x \ne 3\)
Loại C vì \(x = 2 \Rightarrow {\log _2}3 – {\log _{\dfrac{2}{3}}}3 > 0\)Vậy chọn đáp án [D].

[Ẩn HD]

Câu 70. Phương trình ${x^{\ln 7}} + {7^{\ln x}} = 98$ có nghiệm là:
[A]. x = e.
[B]. x = 2.
[C]. \(x = {e^2}\).
[D]. \(x = \sqrt e \).

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện : $x > 0;x \ne 1$
Đặt \(x = {e^t}\)
${x^{\ln 7}} + {7^{\ln x}} = 98 \Leftrightarrow {e^{t.\ln 7}} + {7^{\ln {e^t}}} = 98 \Leftrightarrow {2.7^t} = 98 \Leftrightarrow t = 2$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Lần lượt thay \(x = 2;x = e;x = \sqrt e \) vào phương trình ta được đẳng thức sai, vậy loại A, B, D, vậy chọn đáp án [C].

[Ẩn HD]

Câu 71. Bất phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} – x – 2} \right) \ge {\log _{0,5}}\left( {x – 1} \right) + 1\) có tập nghiệm là:
[A]. \(S = \left[ {1 – \sqrt 2 ; + \infty } \right)\).
[B]. \(S = \left[ {1 + \sqrt 2 ; + \infty } \right)\).
[C]. \(S = \left( { – \infty ;1 + \sqrt 2 } \right]\).
[D]. \(S = \left( { – \infty ;1 – \sqrt 2 } \right]\).

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện ? > 2
\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {{x^2} – x – 2} \right) \ge {\log _{0,5}}\left( {x – 1} \right) + 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\left( {{x^2} – x – 2} \right)\left( {x – 1} \right)} \right] \ge 1 \Leftrightarrow \left( {{x^2} – x – 2} \right)\left( {x – 1} \right) – 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^3} – 2{x^2} – x \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 – \sqrt 2 \le x \le 0\\x \ge 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\)[Phương pháp trắc nghiệm]
Dựa vào điều kiện ta loại A, C,
[D]. Vậy chọn đáp án [B].

[Ẩn HD]

Câu 72. Biết phương trình \(\dfrac{1}{{{{\log }_2}x}} – \dfrac{1}{2}{\log _2}x + \dfrac{7}{6} = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
[A]. $x_1^3 + x_2^3 = \dfrac{{2049}}{4}$.
[B]. $x_1^3 + x_2^3 = – \dfrac{{2047}}{4}$.
[C]. $x_1^3 + x_2^3 = – \dfrac{{2049}}{4}$.
[D]. $x_1^3 + x_2^3 = \dfrac{{2047}}{4}$.

Hướng dẫn

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _2}x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\end{array} \right.\).
Đặt \(t = {\log _2}x.\) Phương trình đã cho trở thành \(3{t^2} – 7t – 6 = 0\).
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = – \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 3\\{\log _2}x = – \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {2^3} = 9\\x = {2^{ – \dfrac{2}{3}}} = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{4}}}\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ {8;\dfrac{1}{{\sqrt[3]{4}}}} \right\} \Rightarrow x_1^3 + x_2^3 = \dfrac{{2049}}{4}$

[Ẩn HD]

Câu 73. Số nghiệm nguyên dương của phương trình \({\log _2}\left( {{4^x} + 4} \right) = x – {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{2^{x + 1}} – 3} \right)\) là:
[A]. 2.
[B]. 1.
[C]. 3.
[D]. 0.

Hướng dẫn

Điều kiện: \({2^{x + 1}} – 3 > 0 \Leftrightarrow x > {\log _2}3 – 1\).
Ta có: \({\log _2}\left( {{4^x} + 4} \right) = x – {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{2^{x + 1}} – 3} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\dfrac{{{4^x} + 4}}{{{2^{x + 1}} – 3}} = x \Leftrightarrow \dfrac{{{4^x} + 4}}{{{2^{x + 1}} – 3}} = {2^x}{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Đặt \(t = {2^x},t > 0.\) Ta có \(\left( 1 \right) \Rightarrow {t^2} + 4 = 2{t^2} – 3t \Leftrightarrow {t^2} – 3t – 4 = 0 \Rightarrow t = 4.\)
\( \Leftrightarrow {2^x} = {2^2} \Leftrightarrow x = 2\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

[Ẩn HD]

Câu 74. Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{{\log }_2}\left( {2x – 1} \right)} \right) > 0\) là:
[A]. \(S = \left( {1;\dfrac{3}{2}} \right)\).
[B]. \(S = \left( {0;\dfrac{3}{2}} \right)\).
[C]. \(S = \left( {0;1} \right)\).
[D]. \(S = \left( {\dfrac{3}{2};2} \right)\).

Hướng dẫn

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2x – 1 > 0\\{\log _2}(2x – 1) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1.\)
Ta có: \({\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{{\log }_2}\left( {2x – 1} \right)} \right) > 0 \Leftrightarrow {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{{\log }_2}\left( {2x – 1} \right)} \right) > {\log _{\dfrac{1}{2}}}1\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}(2x – 1) < 1\\{\log _2}(2x – 1) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < 2x – 1 < 2\\2x – 1 > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < \dfrac{3}{2}.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( {1;\dfrac{3}{2}} \right)\).

[Ẩn HD]

Câu 75. Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _4}\left( {2{x^2} + 3x + 1} \right) > {\log _2}\left( {2x + 1} \right)\) là:
[A]. \(S = \left( {\dfrac{1}{2};1} \right)\).
[B]. \(S = \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\).
[C]. \(S = \left( { – \dfrac{1}{2};1} \right)\).
[D]. \(S = \left( { – \dfrac{1}{2};0} \right)\).

Hướng dẫn

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 3x + 1 > 0\\2x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < – 1 \vee x > – \dfrac{1}{2}\\x > – \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > – \dfrac{1}{2}.\)
Ta có: \({\log _4}\left( {2{x^2} + 3x + 1} \right) > {\log _2}\left( {2x + 1} \right) \Leftrightarrow {\log _4}\left( {2{x^2} + 3x + 1} \right) > {\log _4}{\left( {2x + 1} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x + 1 > 4{x^2} + 4x + 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + x < 0 \Leftrightarrow – \dfrac{1}{2} < x < 0.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( { – \dfrac{1}{2};0} \right)\).

[Ẩn HD]

Câu 76. Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _x}\left( {125x} \right).{\log _{25}}x > \dfrac{3}{2} + \log _5^2x\) là:
[A]. \(S = \left( {1;\sqrt 5 } \right)\).
[B]. \(S = \left( { – 1;\sqrt 5 } \right)\).
[C]. \(S = \left( { – \sqrt 5 ;1} \right)\).
[D]. \(S = \left( { – \sqrt 5 ; – 1} \right)\).

Hướng dẫn

Điều kiện: \(0 < x \ne 1{\rm{ }}\left( * \right).\)
Ta có: \({\log _x}(125x).{\log _{25}}x > \dfrac{3}{2} + \log _5^2x \Leftrightarrow \left( {{{\log }_x}{5^3} + {{\log }_x}x} \right).{\log _{{5^2}}}x > \dfrac{3}{2} + \log _5^2x\)
\( \Leftrightarrow \left( {3{{\log }_x}5 + 1} \right).\left( {\dfrac{1}{2}{{\log }_5}x} \right) > \dfrac{3}{2} + \log _5^2x \Leftrightarrow \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}{\log _5}x > \dfrac{3}{2} + \log _5^2x \Leftrightarrow 2\log _5^2x – {\log _5}x < 0\)
\( \Leftrightarrow 0 < {\log _5}x < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {5^0} < x < {5^{\dfrac{1}{2}}} \Leftrightarrow 1 < x < \sqrt 5 .\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( {1;\sqrt 5 } \right)\).

[Ẩn HD]

Câu 77. Tích các nghiệm của phương trình \({\log _2}x.{\log _4}x.{\log _8}x.{\log _{16}}x = \dfrac{{81}}{{24}}\) là :
[A]. \(\dfrac{1}{2}\).
[B]. 2.
[C]. 1.
[D]. 3.

Hướng dẫn

Điều kiện: x > 0
Ta có: \({\log _2}x.{\log _4}x.{\log _8}x.{\log _{16}}x = \dfrac{{81}}{{24}} \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x} \right)\left( {\dfrac{1}{2}{{\log }_2}x} \right)\left( {\dfrac{1}{3}{{\log }_2}x} \right)\left( {\dfrac{1}{4}{{\log }_2}x} \right) = \dfrac{{81}}{{24}}\)
\( \Leftrightarrow \log _2^4 = 81 \Leftrightarrow {\log _2}x = \pm 3 \Leftrightarrow x = 8\) hoặc $x = \dfrac{1}{8}$. (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\dfrac{1}{8};8} \right\} \Rightarrow {x_1}.{x_2} = 1\).

[Ẩn HD]

Câu 78. Phương trình \({\log _{\sqrt 3 }}\left| {x + 1} \right| = 2\) có bao nhiêu nghiệm ?
[A]. 2.
[B]. 0.
[C]. 1.
[D]. 3.

Hướng dẫn

Điều kiện: \(x \ne – 1\)
Ta có: \({\log _{\sqrt 3 }}\left| {x + 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {x + 1} \right| = 3 \Leftrightarrow x + 1 = \pm 3 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = – 4.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ { – 4;2} \right\}\).

[Ẩn HD]

Câu 79. Biết phương trình \({4^{{{\log }_9}x}} – {6.2^{{{\log }_9}x}} + {2^{{{\log }_3}27}} = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\). Khi đó \(x_1^2 + x_2^2\) bằng :
[A]. \(6642\).
[B]. \(\dfrac{{82}}{{6561}}\).
[C]. 20.
[D]. 90.

Hướng dẫn

Điều kiện: x > 0
Ta có phương trình tương đương \({2^{2{{\log }_9}x}} – {6.2^{{{\log }_9}x}} + {2^3} = 0.{\rm{ (1)}}\)
Đặt \(t = {2^{{{\log }_9}x}},t > 0\). \(\left( 1 \right) \Rightarrow {t^2} – 6t + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = 4\end{array} \right.\)
– Với \(t = 2 \Leftrightarrow {2^{{{\log }_9}x}} = 2 \Leftrightarrow {\log _9}x = 1 \Leftrightarrow x = 9.\)
– Với \(t = 4 \Leftrightarrow {2^{{{\log }_9}x}} = {2^2} \Leftrightarrow {\log _9}x = 2 \Leftrightarrow x = 81\).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {9;81} \right\} \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = 6642\).

[Ẩn HD]

Câu 80. Tập nghiệm của bất phương trình \({2^{\log _2^2x}} – 10{x^{{{\log }_2}\dfrac{1}{x}}} + 3 > 0\) là:
[A]. \(S = \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
[B]. \(S = \left( { – 2;0} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).
[C]. \(S = \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\).
[D]. \(S = \left( { – \infty ;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

Hướng dẫn

Điều kiện: \(x > 0{\rm{ (*)}}\). Đặt \(u = {\log _2}x \Rightarrow x = {2^u}.\)
Bất phương trình đã cho trở thành \({2^{{u^2}}} – 10{\left( {{2^u}} \right)^{ – u}} + 3 > 0 \Leftrightarrow {2^{{u^2}}} – \dfrac{{10}}{{{2^{{u^2}}}}} + 3 > 0{\rm{ (1)}}\)
Đặt \(t = {2^{{u^2}}},{\rm{ }}t \ge 1.{\rm{ }}\left( 1 \right) \Rightarrow {t^2} + 3t – 10 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < – 5{\rm{ (l)}}\\t > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow {2^{{u^2}}} > 2 \Leftrightarrow {u^2} > 1 \Leftrightarrow u > 1\) hoặc \(u < – 1\)
– Với \(u > 1 \Rightarrow {\log _2}x > 1 \Rightarrow x > 2\)
– Với \(u < – 1 \Rightarrow {\log _2}x < – 1 \Rightarrow x < \dfrac{1}{2}.\)
Kết hợp điều kiện (*), ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là x > 2hoặc \(0 < x < \dfrac{1}{2}\).

[Ẩn HD]

Câu 81. Tập nghiệm của phương trình \({4^{{{\log }_2}2x}} – {x^{{{\log }_2}6}} = {2.3^{{{\log }_2}4{x^2}}}\) là:
[A]. \(S = \left\{ {\dfrac{4}{9}} \right\}\).
[B]. \(S = \left\{ { – \dfrac{1}{2}} \right\}\).
[C]. \(S = \left\{ {\dfrac{1}{4}} \right\}\).
[D]. \(S = \left\{ { – 2} \right\}\).

Hướng dẫn

Điều kiện: \(0 < x \ne 1\)
Ta có: \({4^{{{\log }_2}2x}} – {x^{{{\log }_2}6}} = {2.3^{{{\log }_2}4{x^2}}} \Leftrightarrow {4^{1 + {{\log }_2}x}} – {6^{{{\log }_2}x}} = {2.3^{2 + 2{{\log }_2}x}} \Leftrightarrow {4.4^{{{\log }_2}x}} – {6^{{{\log }_2}x}} = {19.9^{{{\log }_2}x}}{\rm{ (1)}}\)
Chia 2 vế cho \({4^{{{\log }_2}x}}\).
\((1) \Leftrightarrow 18.{\left( {\dfrac{9}{4}} \right)^{{{\log }_2}x}} + {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{{{\log }_2}x}} – 4 = 0\). Đặt \(t = {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{{{\log }_2}x}} > 0.{\rm{ }}PT \Rightarrow 18{t^2} + t – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{4}{9}\\t = – \dfrac{1}{2}{\rm{ (l)}}\end{array} \right.\)
\({\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{{{\log }_2}x}} = \left( {\dfrac{4}{9}} \right) = {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{ – 2}} \Leftrightarrow {\log _2}x = – 2 \Leftrightarrow x = {2^{ – 2}} = \dfrac{1}{4}.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\dfrac{1}{4}} \right\}\).
VẬN DỤNG CAO

[Ẩn HD]

Câu 82. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _3}x – {\log _3}\left( {x – 2} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}m\) có nghiệm?
[A]. m > 1.
[B]. \(m \ge 1\).
[C]. m < 1.
[D]. \(m \le 1\).

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện x > 2;m > 0
\({\log _3}x – {\log _3}\left( {x – 2} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}m\)\( \Leftrightarrow x = \left( {x – 2} \right){m^2}\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{2{m^2}}}{{{m^2} – 1}}\)
Phương trình có nghiệm x > 2khi m > 1,chọn đáp án A
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay m = 0(thuộc C, D) vào biểu thức \({\log _{\sqrt 3 }}m\) không xác định, vậy loại C, D,
Thay m = 1 (thuộc B) ta được phương trình tương đương \(x = x – 2\) vô nghiệm
Vậy chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 83. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình${\log _3}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) \ge 1$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}.$?
[A]. $m \ge 7$.
[B]. m > 7.
[C]. m < 4.
[D]. $4 < m \le 7$.

Hướng dẫn

${\log _3}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) \ge 1{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {x^2} + 4x + m – 3 \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta \le 0 \Leftrightarrow m \ge 7$
Vậy chọn
[A].

[Ẩn HD]

Câu 84. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình ${\log _{\dfrac{1}{5}}}\left( {mx – {x^2}} \right) \le {\log _{\dfrac{1}{5}}}4$ vô nghiệm?
[A]. $ – 4 \le m \le 4$.
[B]. $\left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < – 4\end{array} \right.$.
[C]. m < 4.
[D]. – 4 < m < 4.

Hướng dẫn

${\log _{\dfrac{1}{5}}}\left( {mx – {x^2}} \right) \le {\log _{\dfrac{1}{5}}}4 \Leftrightarrow mx – {x^2} \ge 4 \Leftrightarrow {x^2} – mx + 4 \le 0$
${x^2} – mx + 4 \le 0$vô nghiệm $ \Leftrightarrow {x^2} – mx + 4 > 0{\rm{ }}\forall x \in R \Leftrightarrow \Delta < 0 \Leftrightarrow – 4 < m < 4$

[Ẩn HD]

Câu 85. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _2}\left( {mx – {x^2}} \right) = 2\)vô nghiệm?
[A]. m < 4.
[B]. – 4 < m < 4.
[C]. \(\left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < – 4\end{array} \right.\).
[D]. m > – 4.

Hướng dẫn

\({\log _2}\left( {mx – {x^2}} \right) = 2 \Leftrightarrow – {x^2} + mx – 4 = 0(*)\)
Phương trình (*) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta < 0 \Leftrightarrow {m^2} – 16 < 0 \Leftrightarrow – 4 < m < 4\)

[Ẩn HD]

Câu 86. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\log _4^2x + 3{\log _4}x + 2m – 1 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt?
[A]. \(m < \dfrac{{13}}{8}\).
[B]. \(m > \dfrac{{13}}{8}\).
[C]. \(m \le \dfrac{{13}}{8}\).
[D]. \(0 < m < \dfrac{{13}}{8}\).

Hướng dẫn

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow 13 – 8m > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{{13}}{8}\)

[Ẩn HD]

Câu 87. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \({\log _2}({5^x} – 1).{\log _2}({2.5^x} – 2) \ge m\) có nghiệm \(x \ge 1\)?
[A]. \(m \ge 6\).
[B]. m > 6.
[C]. \(m \le 6\).
[D]. m < 6.

Hướng dẫn

BPT\( \Leftrightarrow {\log _2}({5^x} – 1).{\log _2}({2.5^x} – 2) \le m \Leftrightarrow {\log _2}({5^x} – 1).\left[ {1 + {{\log }_2}({5^x} – 1)} \right] \le m\)
Đặt $t = {\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right)$ do\(x \ge 1\)\( \Rightarrow t \in \left[ {2; + \infty } \right)\)
BPT\( \Leftrightarrow t(1 + t) \ge m \Leftrightarrow {t^2} + t \ge m \Leftrightarrow f(t) \ge m\)
Với \(f(t) = {t^2} + t\)
\({f^,}(t) = 2t + 1 > 0\)với \(t \in \left[ {2; + \infty } \right)\)nên hàm đồng biến trên \(t \in \left[ {2; + \infty } \right)\)
Nên \(Minf(t) = f(2) = 6\)
Do đó để để bất phương trình \({\log _2}({5^x} – 1).{\log _2}({2.5^x} – 2) \ge m\) có nghiệm \(x \ge 1\)thì :
\(m \le Minf(t) \Leftrightarrow m \le 6\)

[Ẩn HD]

Câu 88. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\log _3^2x + 2{\log _3}x + m – 1 = 0\) có nghiệm?
[A]. m < 2.
[B]. \(m \le 2\).
[C]. \(m \ge 2\).
[D]. m > 2.

Hướng dẫn

TXĐ:x > 0
PT có nghiệm khi $\Delta ‘ \ge 0 \Leftrightarrow 1 – (m – 1) \ge 0 \Leftrightarrow 2 – m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 2$.

[Ẩn HD]

Câu 89. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \({\log _2}({5^x} – 1) \le m\) có nghiệm \(x \ge 1\)?
[A]. \(m \ge 2\).
[B]. m > 2.
[C]. \(m \le 2\).
[D]. m < 2.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
\(x \ge 1 \Leftrightarrow {5^x} – 1 \ge 4 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^x} – 1} \right) \ge 2 \Leftrightarrow m \ge 2\)

[Ẩn HD]

Câu 90. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\log _3^2x + \sqrt {\log _3^2x + 1} – 2m – 1 = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1;{3^{\sqrt 3 }}} \right]\)?
[A]. \(m \in [0;2]\).
[B]. \(m \in (0;2)\).
[C]. \(m \in (0;2]\).
[D]. \(m \in [0;2)\).

Hướng dẫn

Với \(x \in \left[ {1;{3^{\sqrt 3 }}} \right]\) hay \(1 \le x \le {3^{\sqrt 3 }} \Rightarrow \sqrt {\log _3^21 + 1} \le \sqrt {\log _3^2x + 1} \le \sqrt {\log _3^2{3^{\sqrt 3 }} + 1} \) hay \(1 \le t \le 2\).
Bài tập trắc nghiệm phương trình và bất phương trình Logarit
Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1;2} \right]\)”. Ta có \(PT \Leftrightarrow 2m = {t^2} + t + 2.\)
Xét hàm số \(f(t) = {t^2} + t – 2,{\rm{ }}\forall t \in \left[ {1;2} \right],{\rm{ }}f'(t) = 2t + 1 > 0,{\rm{ }}\forall t \in \left[ {1;2} \right]\)
Suy ra hàm số đồng biến trên \(\left[ {1;2} \right]\).
Khi đó phương trình có nghiệm khi \(0 \le 2m \le 4 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2.\)
Vậy \(0 \le m \le 2\) là các giá trị cần tìm.

[Ẩn HD]

Câu 91. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _2}\left( {{5^x} – 1} \right).lo{g_4}\left( {{{2.5}^x} – 2} \right) = m\) có nghiệm \(x \ge 1.\)?
[A]. \(m \in \left[ {2; + \infty } \right)\).
[B]. \(m \in \left[ {3; + \infty } \right)\).
[C]. \(m \in ( – \infty ;2]\).
[D]. \(m \in \left( { – \infty ;3} \right]\).

Hướng dẫn

Với \(x \ge 1 \Rightarrow {5^x} \ge 5 \Rightarrow {\log _2}\left( {{5^x} – 1} \right) \ge {\log _2}\left( {5 – 1} \right) = 2\) hay \(t \ge 2\).
Bài tập trắc nghiệm phương trình và bất phương trình Logarit
Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình có nghiệm \(t \ge 2\)”.
Xét hàm số \(f(t) = {t^2} + t,{\rm{ }}\forall t \ge 2,{\rm{ }}f'(t) = 2t + 1 > 0,{\rm{ }}\forall t \ge 2\)
Suy ra hàm số đồng biến với \(t \ge 2\).
Khi đó phương trình có nghiệm khi \(2m \ge 6 \Leftrightarrow m \ge 3.\)
Vậy \(m \ge 3\) là các giá trị cần tìm.

[Ẩn HD]

Câu 92. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\log _3^2x – \left( {m + 2} \right){\log _3}x + 3m – 1 = 0\) có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn \({x_1}.{x_2} = 27.\)?
[A]. m = – 2.
[B]. m = – 1.
[C]. m = 1.
[D]. m = 2.

Hướng dẫn

Điều kiện x > 0 Đặt \(t = {\log _3}x.\) Khi đó phương trình có dạng: \({t^2} – \left( {m + 2} \right)t + 3m – 1 = 0\).
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} – 4\left( {3m – 1} \right) = {m^2} – 8m + 8 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 4 – 2\sqrt 2 \\m > 4 + 2\sqrt 2 \end{array} \right.{\rm{ }}\left( * \right)\)
Với điều kiện \(\left( * \right)\) ta có: \({t_1} + {t_2} = {\log _3}{x_1} + {\log _3}{x_2} = {\log _3}\left( {{x_1}.{x_2}} \right) = {\log _3}27 = 3.\)
Theo Vi-ét ta có: \({t_1} + {t_2} = m + 2 \Rightarrow m + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 1\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Xem thêm :  Kỹ năng làm bài văn nghị luận về một hiện tượng đời sống đạt điểm cao

[Ẩn HD]

Câu 93. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\sqrt {\log _2^2x + {{\log }_{\dfrac{1}{2}}}{x^2} – 3} = m\left( {{{\log }_4}{x^2} – 3} \right)\) có nghiệm thuộc \(\left[ {32; + \infty } \right)\) ?
[A]. \(m \in \left( {1;\sqrt 3 } \right]\).
[B]. $m \in \left[ {1;\sqrt 3 } \right)$.
[C]. \(m \in \left[ { – 1;\sqrt 3 } \right)\).
[D]. \(m \in \left( { – \sqrt 3 ;1} \right]\).

Hướng dẫn

Điều kiện: $x > 0.$ Khi đó phương trình tương đương: \(\sqrt {\log _2^2x – 2{{\log }_2}x – 3} = m\left( {{{\log }_2}x – 3} \right)\).
Đặt \(t = {\log _2}x\) với $x \ge 32 \Rightarrow {\log _2}x \ge {\log _2}32 = 5$ hay \(t \ge 5.\)
Phương trình có dạng \(\sqrt {{t^2} – 2t – 3} = m\left( {t – 3} \right){\rm{ }}\left( * \right)\).
Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình (*) có nghiệm \(t \ge 5\)”
Với \(t \ge 5\) thì \((*) \Leftrightarrow \sqrt {\left( {t – 3} \right).\left( {t + 1} \right)} = m\left( {t – 3} \right) \Leftrightarrow \sqrt {t – 3} .\left( {\sqrt {t + 1} – m\sqrt {t – 3} } \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {t + 1} – m\sqrt {t – 3} = 0 \Leftrightarrow m = \sqrt {\dfrac{{t + 1}}{{t – 3}}} \)
Ta có \(\dfrac{{t + 1}}{{t – 3}} = 1 + \dfrac{4}{{t – 3}}.\) Với \(t \ge 5 \Rightarrow 1 < 1 + \dfrac{4}{{t – 3}} \le 1 + \dfrac{4}{{5 – 3}} = 3\) hay \(1 < \dfrac{{t + 1}}{{t – 3}} \le 3 \Rightarrow 1 < \sqrt {\dfrac{{t + 1}}{{t – 3}}} \le \sqrt 3 \)
suy ra \(1 < m \le \sqrt 3 .\) Vậy phương trình có nghiệm với \(1 < m \le \sqrt 3 .\)

[Ẩn HD]

Câu 94. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng \(\left( {2;3} \right)\) thuộc tập nghiệm của bất phương trình \({\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) > {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) – 1{\rm{ (1)}}\).
[A]. \(m \in \left[ { – 12;13} \right]\).
[B]. \(m \in \left[ {12;13} \right]\).
[C]. \(m \in \left[ { – 13;12} \right]\).
[D]. \(m \in \left[ { – 13; – 12} \right]\).

Hướng dẫn

\((1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 > \dfrac{{{x^2} + 4x + m}}{5}\\{x^2} + 4x + m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > – {x^2} – 4x = f(x)\\m < 4{x^2} – 4x + 5 = g(x)\end{array} \right.\)
Hệ trên thỏa mãn \(\forall x \in \left( {2;3} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge \mathop {Max}\limits_{2 < x < 3} f(x) = – 12{\rm{ khi }}x = 2\\m \le \mathop {Min}\limits_{2 < x < 3} f(x) = 13{\rm{ khi }}x = 2\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow – 12 \le m \le 13.\)

[Ẩn HD]

Câu 95. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \({\log _2}\left( {7{x^2} + 7} \right) \ge {\log _2}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right),{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\)
[A]. \(m \in \left( {2;5} \right]\).
[B]. \(m \in \left( { – 2;5} \right]\).
[C]. \(m \in \left[ {2;5} \right)\).
[D]. \(m \in \left[ { – 2;5} \right)\).

Hướng dẫn

Bất phương trình tương đương \(7{x^2} + 7 \ge m{x^2} + 4x + m > 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {7 – m} \right){x^2} – 4x + 7 – m \ge 0{\rm{ }}(2)\\m{x^2} + 4x + m > 0{\rm{ }}(3)\end{array} \right.,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\)
 m = 7: (2) không thỏa \(\forall x \in \mathbb{R}\)
 m = 0: (3) không thỏa \(\forall x \in \mathbb{R}\)
(1) thỏa \(\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7 – m > 0\\{{\Delta ‘}_2} = 4 – {\left( {7 – m} \right)^2} \le 0\\m > 0\\{{\Delta ‘}_3} = 4 – {m^2} < 0\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l}m < 7\\m \le 5\\m > 0\\m > 2\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2 < m \le 5.\)

[Ẩn HD]

Câu 96. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \(1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\) có nghiệm đúng \(\forall x.\)
[A]. \(m \in \left( {2;3} \right]\).
[B]. \(m \in \left( { – 2;3} \right]\).
[C]. \(m \in \left[ {2;3} \right)\).
[D]. \(m \in \left[ { – 2;3} \right)\).

Hướng dẫn

Bất phương trình tương đương \(7\left( {{x^2} + 1} \right) \ge m{x^2} + 4x + m > 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {5 – m} \right){x^2} – 4x + 5 – m \ge 0{\rm{ (2) }}\\m{x^2} + 4x + m > 0{\rm{ (3)}}\end{array} \right.(*),{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\)
 m = 0 hoặc \(m = 5\) : (*) không thỏa \(\forall x \in \mathbb{R}\)
 \(m \ne 0\) và \(m \ne 5\): (*) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 – m > 0\\{{\Delta ‘}_2} = 4 – {\left( {5 – m} \right)^2} \le 0\\m > 0\\{{\Delta ‘}_3} = 4 – {m^2} < 0\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2 < m \le 3.\)

[Ẩn HD]

2. Điều kiện xác định của phươg trình \({\log _x}(2{x^2} – 7x – 12) = 2\) là:\(x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).\(x \in \left( { – \infty ;0} \right)\).\(x \in \left( {0;1} \right)\).\(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).3. Điều kiện xác định của phương trình \({\log _5}(x – 1) = {\log _5}\dfrac{x}{{x + 1}}\)là:$x \in \left( {1; + \infty } \right)$.\(x \in \left( { – 1;0} \right)\).\(x \in \mathbb{R}\backslash {\rm{[}} – 1;0]\).\(x \in \left( { – \infty ;1} \right)\).4. Điều kiện xác định của phươg trình\({\log _9}\dfrac{{2x}}{{x + 1}} = \dfrac{1}{2}\) là:$x \in \left( { – 1; + \infty } \right)$.\(x \in \mathbb{R}\backslash {\rm{[}} – 1;0]\).$x \in \left( { – 1;0} \right)$.\(x \in \left( { – \infty ;1} \right)\).5. Phương trình \({\log _2}(3x – 2) = 2\)có nghiệm là:\(x = \dfrac{4}{3}\).\(x = \dfrac{2}{3}\).x = 1.x = 2.6. Phương trình\({\log _2}(x + 3) + {\log _2}(x – 1) = {\log _2}5\) có nghiệm là:x = 2.x = 1.x = 3.x = 0.7. Phương trình \({\log _3}({x^2} – 6) = {\log _3}(x – 2) + 1\) có tập nghiệm là:\(T = {\rm{\{ }}0;3\} \).\(T = \emptyset \).\(T = {\rm{\{ }}3\} \).$T = {\rm{\{ }}1;3\} $.8. Phương trình $\log _2^{}x + {\log _2}(x – 1) = 1$ có tập nghiệm là:\(\left\{ { – 1;3} \right\}\).\(\left\{ {1;3} \right\}\).\(\left\{ 2 \right\}\).\(\left\{ 1 \right\}\).9. Phương trình $\log _2^2(x + 1) – 6{\log _2}\sqrt {x + 1} + 2 = 0$ có tập nghiệm là:\(\left\{ {3;15} \right\}\).\(\left\{ {1;3} \right\}\).\(\left\{ {1;2} \right\}\).\(\left\{ {1;5} \right\}\).10. Số nghiệm của phương trình\({\log _4}\left( {{{\log }_2}x} \right) + {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) = 2\) là:0.2.3.1.11. Số nghiệm của phương trình\({\log _2}x.{\log _3}(2x – 1) = 2{\log _2}x\) là:2.0.1.3.12. Số nghiệm của phương trình\({\log _2}({x^3} + 1) – {\log _2}({x^2} – x + 1) – 2{\log _2}x = 0\)là:0.2.3.1.13. Số nghiệm của phương trình ${\log _5}\left( {5x} \right) – {\log _{25}}\left( {5x} \right) – 3 = 0$là :3.4.1.2.14. Phương trình\({\log _3}(5x – 3) + {\log _{\dfrac{1}{3}}}({x^2} + 1) = 0\) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) trong đó \({x_1} < {x_2}\).Giá trị của \(P = 2{x_1} + 3{x_2}\) là5.14.3.13.15. Hai phương trình \(2{\log _5}(3x – 1) + 1 = {\log _{\sqrt[3]{5}}}(2x + 1)\) và \({\log _2}({x^2} – 2x – 8) = 1 – {\log _{\dfrac{1}{2}}}(x + 2)\) lần lượt có 2 nghiệm duy nhất là \({x_1},{x_2}\). Tổng \({x_1} + {x_2}\) là?8.6.4.10.16. Gọi ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${\log _x}2 – {\log _{16}}x = 0$. Khi đó tích${x_1}.{x_2}$ bằng:– 1.1.2.– 2.17. Nếu đặt \(t = {\log _2}x\) thì phương trình\(\dfrac{1}{{5 – {{\log }_2}x}} + \dfrac{2}{{1 + {{\log }_2}x}} = 1\) trở thành phương trình nào?\({t^2} – 5t + 6 = 0\).\({t^2} + 5t + 6 = 0\).\({t^2} – 6t + 5 = 0\).\({t^2} + 6t + 5 = 0\).18. Nếu đặt \(t = \lg x\) thì phương trình$\dfrac{1}{{4 – \lg x}} + \dfrac{2}{{2 + \lg x}} = 1$ trở thành phương trình nào?\({t^2} + 2t + 3 = 0\).\({t^2} – 3t + 2 = 0\).\({t^2} – 2t + 3 = 0\).\({t^2} + 3t + 2 = 0\).19. Nghiệm bé nhất của phương trình \({\log _2}^3x – 2{\log ^2}_2x = {\log _2}x – 2\) là:\(x = 4\).$x = \dfrac{1}{4}$.x = 2.$x = \dfrac{1}{2}$.20. Điều kiện xác định của bất phương trình \({\log _{\dfrac{1}{2}}}(4x + 2) – {\log _{\dfrac{1}{2}}}(x – 1) > lo{g_{\dfrac{1}{2}}}x\)là:$x > – \dfrac{1}{2}$.x > 0.x > 1.x > – 1.21. Điều kiện xác định của bất phương trình \({\log _2}(x + 1) – 2{\log _4}(5 – x) < 1 – {\log _2}(x – 2)\)là:2 < x < 5.1 < x < 2.2 < x < 3.– 4 < x < 3.22. Điều kiện xác định của bất phương trình \({\log _{\dfrac{1}{2}}}\left[ {{{\log }_2}(2 – {x^2})} \right] > 0\)là:\(x \in {\rm{[}} – 1;1]\).\(x \in \left( { – 1;0} \right) \cup \left( {0;1} \right)\).\(x \in \left( { – 1;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).\(x \in \left( { – 1;1} \right)\).23. Bất phương trình${\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \le 2$ có tập nghiệm là:${\rm{[}}0; + \infty )$.\(( – \infty ;0)\).$( – \infty ;0]$.$\left( {0; + \infty } \right)$.24. Bất phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} – x – 2} \right) \ge {\log _{0,5}}\left( {x – 1} \right) + 1\) có tập nghiệm là:\(\left[ {1 + \sqrt 2 ; + \infty } \right)\).\(\left[ {1 – \sqrt 2 ; + \infty } \right)\).\(\left( { – \infty ;1 + \sqrt 2 } \right]\).\(\left( { – \infty ;1 – \sqrt 2 } \right]\).25. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình \({\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) \ge {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} \right)\) là:6.10.8.9.26. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình\({\log _3}\left( {1 – {x^2}} \right) \le {\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {1 – x} \right)\)là:x = 0.x = 1.$x = \dfrac{{1 – \sqrt 5 }}{2}$.$x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$.27. Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}({x^2} – 3x + 1) \le 0\) là:\(S = \left[ {0;\dfrac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2};3} \right]\).\(S = \left( {0;\dfrac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2};3} \right)\) .\(S = \left[ {\dfrac{{3 – \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right]\).\(S = \emptyset \).28. Điều kiện xác định của phương trình \({\log _2}(x – 5) + {\log _3}(x + 2) = 3\)là:$x \ge 5$.x > – 2.– 2 < x < 5.x > 5.29. Điều kiện xác định của phương trình \(\log ({x^2} – 6x + 7) + x – 5 = \log (x – 3)\)là:$x > 3 + \sqrt 2 $.x > 3.$\left[ \begin{array}{l}x > 3 + \sqrt 2 \\x < 3 – \sqrt 2 \end{array} \right.$.$x < 3 – \sqrt 2 $.30. Phương trình ${\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{\dfrac{1}{3}}}x = 6$có nghiệm là:x = 27.x = 9.$x = {3^{12}}$..$x = {\log _3}6$..31. Phương trình $\ln \dfrac{{x – 1}}{{x + 8}} = \ln x$có nghiệm là:x = – 2.$\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = – 2\end{array} \right.$.x = 4.x = 1.32. Phương trình $\log _2^2x – 4{\log _2}x + 3 = 0$có tập nghiệm là:$\left\{ {8;2} \right\}$.$\left\{ {1;3} \right\}$.$\left\{ {6;2} \right\}$.$\left\{ {6;8} \right\}$.33. Tập nghiệm của phương trình $\dfrac{1}{2}{\log _2}{\left( {x + 2} \right)^2} – 1 = 0$là:$\left\{ 0 \right\}$.$\left\{ {0; – 4} \right\}$.$\left\{ { – 4} \right\}$.$\left\{ { – 1;0} \right\}$.34. Tập nghiệm của phương trình ${\log _2}\dfrac{1}{x} = {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – 1} \right)$ là:$\left\{ {1 + \sqrt 2 } \right\}$.$\left\{ {1 + \sqrt 2 ;1 – \sqrt 2 } \right\}$.$\left\{ {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{1 – \sqrt 5 }}{2}} \right\}$.$\left\{ {1 – \sqrt 2 } \right\}$.35. Phương trình ${\log _2}\left( {{{3.2}^x} – 1} \right) = 2x + 1$ có bao nhiêu nghiệm?1.2.3.0.36. Số nghiệm của phương trình $\ln \left( {{x^2} – 6{\rm{x}} + 7} \right) = \ln \left( {x – 3} \right)$là:0.2.3.1.37. Nghiệm nhỏ nhất của phương trình $ – {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x – 2} \right).{\log _5}x = 2{\log _3}\left( {x – 2} \right)$ là:$\dfrac{1}{5}$.3.2.1.38. Nghiệm lớn nhất của phương trình $ – {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 – \log x$ là :100.2.10.1000.39. Gọi ${x_1},{x_2}$là 2 nghiệm của phương trình\({\log _3}\left( {{x^2} – x – 5} \right) = {\log _3}\left( {2x + 5} \right)\).Khi đó$\left| {{x_1} – {x_2}} \right|$bằng:5.3.– 2.7.40. Gọi ${x_1},{x_2}$là 2 nghiệm của phương trình\(\dfrac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} + \dfrac{2}{{2 – {{\log }_2}x}} = 1\). Khi đó ${x_1}.{x_2}$bằng:$\dfrac{1}{2}$.$\dfrac{1}{8}$.$\dfrac{1}{4}$.$\dfrac{3}{4}$.41. Gọi ${x_1},{x_2}$là 2 nghiệm của phương trình\({\log _2}\left[ {x\left( {x + 3} \right)} \right] = 1\). Khi đó${x_1} + {x_2}$bằng:– 3.– 2.$\sqrt {17} $.$\dfrac{{ – 3 + \sqrt {17} }}{2}$.42. Nếu đặt $t = {\log _2}x$thì phương trình ${\log _2}\left( {4x} \right) – {\log _x}2 = 3$trở thành phương trình nào?${t^2} – t – 1 = 0$.$4{t^2} – 3t – 1 = 0$.$t + \dfrac{1}{t} = 1$.$2t – \dfrac{1}{t} = 3$.43. Nếu đặt $t = \log x$thì phương trình ${\log ^2}{x^3} – 20\log \sqrt x + 1 = 0$trở thành phương trình nào?$9{t^2} – 20\sqrt t + 1 = 0$.$3{t^2} – 20t + 1 = 0$.$9{t^2} – 10t + 1 = 0$.$3{t^2} – 10t + 1 = 0$.44. Cho bất phương trình $\dfrac{{1 – {{\log }_9}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} \le \dfrac{1}{2}$. Nếu đặt $t = {\log _3}x$ thì bất phương trình trở thành:$2\left( {1 – 2t} \right) \le 1 + t$.$\dfrac{{1 – 2t}}{{1 + t}} \le \dfrac{1}{2}$.$1 – \dfrac{1}{2}t \le \dfrac{1}{2}\left( {1 + t} \right)$.$\dfrac{{2t – 1}}{{1 + t}} \ge 0$.45. Điều kiện xác định của bất phương trình \({\log _5}(x – 2) + {\log _{\dfrac{1}{5}}}(x + 2) > {\log _5}x – 3\) là:x > 3.x > 2.x > – 2.x > 0.46. Điều kiện xác định của bất phương trình \({\log _{0,5}}(5{\rm{x}} + 15) \le {\log _{0,5}}\left( {{x^2} + 6{\rm{x}} + 8} \right)\) là:x > – 2.\(\left[ \begin{array}{l}x < – 4\\x > – 2\end{array} \right.\).x > – 3.\( – 4 < x < – 2\).47. Điều kiện xác định của bất phương trình \(\ln \dfrac{{{x^2} – 1}}{x} < 0\) là:\(\left[ \begin{array}{l} – 1 < x < 0\\x > 1\end{array} \right.\).\(x > – 1\).x > 0.\(\left[ \begin{array}{l}x < – 1\\x > 1\end{array} \right.\).48. Bất phương trình $\log _{0,2}^2x – 5{\log _{0,2}}x < – 6$có tập nghiệm là:$S = \left( {\dfrac{1}{{125}};\dfrac{1}{{25}}} \right)$.$S = \left( {2;3} \right)$.$S = \left( {0;\dfrac{1}{{25}}} \right)$.$S = \left( {0;3} \right)$.49. Vậy loại C, chọnTập nghiệm của bất phương trình ${\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {{x^2} – 6x + 5} \right) + {\log _3}\left( {x – 1} \right) \ge 0$là:$S = \left[ {1;6} \right]$.$S = \left( {5;6} \right]$.$S = \left( {5; + \infty } \right)$.$S = \left( {1; + \infty } \right)$.50. Bất phương trình ${\log _{\dfrac{2}{3}}}\left( {2{x^2} – x + 1} \right) < 0$có tập nghiệm là:$S = \left( {0;\dfrac{3}{2}} \right)$.$S = \left( { – 1;\dfrac{3}{2}} \right)$.$S = \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)$.$S = \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right)$.51. Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _3}\dfrac{{4x + 6}}{x} \le 0$là:$S = \left[ { – 2; – \dfrac{3}{2}} \right)$.$S = \left[ { – 2;0} \right)$.$S = \left( { – \infty ;2} \right]$.$S = \mathbb{R}\backslash \left[ { – \dfrac{3}{2};0} \right]$.52. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình ${\log _{0,2}}x – {\log _5}\left( {x – 2} \right) < {\log _{0,2}}3$ là:x = 6.x = 3.x = 5.x = 4.53. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình ${\log _3}\left( {{{4.3}^{x – 1}}} \right) > 2x – 1$ là:x = 3.x = 2.x = 1.x = – 1.54. Điều kiện xác định của phương trình ${\log _2}\left[ {3{{\log }_2}\left( {3x – 1} \right) – 1} \right] = x$ là:$x > \dfrac{{\sqrt[3]{2} + 1}}{3}$.$x \ge \dfrac{1}{3}$.x > 0.$x \in (0; + \infty )\backslash {\rm{\{ }}1\} $.55. Điều kiện xác định của phương trình ${\log _2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = {\log _6}\left| {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right|$ là:$x \le – 1$.$x \ge 1$.$x > 0,x \ne 1$.$x \le – 1$ hoặc $x \ge 1$.56. Nghiệm nguyên của phương trình ${\log _2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = {\log _6}\left| {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right|$ là:x = 1.x = – 1.x = 2.x = 3.57. Nếu đặt $t = {\log _2}x$ thì bất phương trình $\log _2^4x – \log _{\dfrac{1}{2}}^2\left( {\dfrac{{{x^3}}}{8}} \right) + 9{\log _2}\left( {\dfrac{{32}}{{{x^2}}}} \right) < 4\log _{{2^{ – 1}}}^2\left( x \right)$ trở thành bất phương trình nào?${t^4} + 13{t^2} + 36 < 0$.${t^4} – 5{t^2} + 9 < 0$.${t^4} – 13{t^2} + 36 < 0$.${t^4} – 13{t^2} – 36 < 0$.58. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình $\log _2^4x – \log _{\dfrac{1}{2}}^2\left( {\dfrac{{{x^3}}}{8}} \right) + 9{\log _2}\left( {\dfrac{{32}}{{{x^2}}}} \right) < 4\log _{{2^{ – 1}}}^2\left( x \right)$ là:x = 7.x = 8.x = 4.x = 1.59. Bất phương trình ${\log _x}\left( {{{\log }_3}\left( {{9^x} – 72} \right)} \right) \le 1$ có tập nghiệm là:$S = \left[ {{{\log }_3}\sqrt {73} ;2} \right]$.$S = \left( {{{\log }_3}\sqrt {72} ;2} \right]$.$S = \left( {{{\log }_3}\sqrt {73} ;2} \right]$.$S = \left( { – \infty ;2} \right]$.60. Gọi ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình${\log _2}\left[ {x\left( {x – 1} \right)} \right] = 1$. Khi đó tích \({x_1}.{x_2}\) bằng:– 2.1.– 1.2.61. Nếu đặt $t = {\log _2}\left( {{5^x} – 1} \right)$ thì phương trình ${\log _2}\left( {{5^x} – 1} \right).{\log _4}\left( {{{2.5}^x} – 2} \right) = 1$ trở thành phương trình nào?${t^2} + t – 2 = 0$.$2{t^2} = 1$.${t^2} – t – 2 = 0$.${t^2} = 1$.62. Số nghiệm của phương trình ${\log _4}\left( {x + 12} \right).{\log _x}2 = 1$ là:0.2.3.1.63. Phương trình $\log _5^2(2x – 1) – 8{\log _5}\sqrt {2x – 1} + 3 = 0$ có tập nghiệm là:\(\left\{ { – 1; – 3} \right\}\).\(\left\{ {1;3} \right\}\).\(\left\{ {3;63} \right\}\).\(\left\{ {1;2} \right\}\).64. Nếu đặt $t = {\log _3}\dfrac{{x – 1}}{{x + 1}}$ thì bất phương trình ${\log _4}{\log _3}\dfrac{{x – 1}}{{x + 1}} < {\log _{\dfrac{1}{4}}}{\log _{\dfrac{1}{3}}}\dfrac{{x + 1}}{{x – 1}}$ trở thành bất phương trình nào?$\dfrac{{{t^2} – 1}}{t} < 0$.${t^2} – 1 < 0$.$\dfrac{{{t^2} – 1}}{t} > 0$.$\dfrac{{{t^2} + 1}}{t} < 0$.65. Phương trình ${\log _{2x – 3}}\left( {3{x^2} – 7x + 3} \right) – 2 = 0$ có nghiệm là:x = 2;x = 3.x = 2.x = 3.x = 1;x = 5.66. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình \({\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} \right)\) là:18.16.15.17.67. Phương trình $\dfrac{1}{{4 – \ln x}} + \dfrac{2}{{2 + \ln x}} = 1$ có tích các nghiệm là:\({e^3}\).\(\dfrac{1}{e}\).e.2.68. Phương trình $9{x^{{{\log }_9}x}} = {x^2}$ có bao nhiêu nghiệm?1.0.2.3.69. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình \({\log _x}3 – {\log _{\dfrac{x}{3}}}3 < 0\) là:x = 3.x = 1.x = 2.x = 4.70. Phương trình ${x^{\ln 7}} + {7^{\ln x}} = 98$ có nghiệm là:x = e.x = 2.\(x = {e^2}\).\(x = \sqrt e \).71. Bất phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} – x – 2} \right) \ge {\log _{0,5}}\left( {x – 1} \right) + 1\) có tập nghiệm là:\(S = \left[ {1 – \sqrt 2 ; + \infty } \right)\).\(S = \left[ {1 + \sqrt 2 ; + \infty } \right)\).\(S = \left( { – \infty ;1 + \sqrt 2 } \right]\).\(S = \left( { – \infty ;1 – \sqrt 2 } \right]\).72. Biết phương trình \(\dfrac{1}{{{{\log }_2}x}} – \dfrac{1}{2}{\log _2}x + \dfrac{7}{6} = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?$x_1^3 + x_2^3 = \dfrac{{2049}}{4}$.$x_1^3 + x_2^3 = – \dfrac{{2047}}{4}$.$x_1^3 + x_2^3 = – \dfrac{{2049}}{4}$.$x_1^3 + x_2^3 = \dfrac{{2047}}{4}$.73. Số nghiệm nguyên dương của phương trình \({\log _2}\left( {{4^x} + 4} \right) = x – {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{2^{x + 1}} – 3} \right)\) là:2.1.3.0.74. Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{{\log }_2}\left( {2x – 1} \right)} \right) > 0\) là:\(S = \left( {1;\dfrac{3}{2}} \right)\).\(S = \left( {0;\dfrac{3}{2}} \right)\).\(S = \left( {0;1} \right)\).\(S = \left( {\dfrac{3}{2};2} \right)\).75. Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _4}\left( {2{x^2} + 3x + 1} \right) > {\log _2}\left( {2x + 1} \right)\) là:\(S = \left( {\dfrac{1}{2};1} \right)\).\(S = \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\).\(S = \left( { – \dfrac{1}{2};1} \right)\).\(S = \left( { – \dfrac{1}{2};0} \right)\).76. Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _x}\left( {125x} \right).{\log _{25}}x > \dfrac{3}{2} + \log _5^2x\) là:\(S = \left( {1;\sqrt 5 } \right)\).\(S = \left( { – 1;\sqrt 5 } \right)\).\(S = \left( { – \sqrt 5 ;1} \right)\).\(S = \left( { – \sqrt 5 ; – 1} \right)\).77. Tích các nghiệm của phương trình \({\log _2}x.{\log _4}x.{\log _8}x.{\log _{16}}x = \dfrac{{81}}{{24}}\) là :\(\dfrac{1}{2}\).2.1.3.78. Phương trình \({\log _{\sqrt 3 }}\left| {x + 1} \right| = 2\) có bao nhiêu nghiệm ?2.0.1.3.79. Biết phương trình \({4^{{{\log }_9}x}} – {6.2^{{{\log }_9}x}} + {2^{{{\log }_3}27}} = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\). Khi đó \(x_1^2 + x_2^2\) bằng :\(6642\).\(\dfrac{{82}}{{6561}}\).20.90.80. Tập nghiệm của bất phương trình \({2^{\log _2^2x}} – 10{x^{{{\log }_2}\dfrac{1}{x}}} + 3 > 0\) là:\(S = \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).\(S = \left( { – 2;0} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).\(S = \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\).\(S = \left( { – \infty ;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).81. Tập nghiệm của phương trình \({4^{{{\log }_2}2x}} – {x^{{{\log }_2}6}} = {2.3^{{{\log }_2}4{x^2}}}\) là:\(S = \left\{ {\dfrac{4}{9}} \right\}\).\(S = \left\{ { – \dfrac{1}{2}} \right\}\).\(S = \left\{ {\dfrac{1}{4}} \right\}\).\(S = \left\{ { – 2} \right\}\).82. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _3}x – {\log _3}\left( {x – 2} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}m\) có nghiệm?m > 1.\(m \ge 1\).m < 1.\(m \le 1\).83. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình${\log _3}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) \ge 1$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}.$?$m \ge 7$.m > 7.m < 4.$4 < m \le 7$.84. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình ${\log _{\dfrac{1}{5}}}\left( {mx – {x^2}} \right) \le {\log _{\dfrac{1}{5}}}4$ vô nghiệm?$ – 4 \le m \le 4$.$\left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < – 4\end{array} \right.$.m < 4.– 4 < m < 4.85. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _2}\left( {mx – {x^2}} \right) = 2\)vô nghiệm?m < 4.– 4 < m < 4.\(\left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < – 4\end{array} \right.\).m > – 4.86. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\log _4^2x + 3{\log _4}x + 2m – 1 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt?\(m < \dfrac{{13}}{8}\).\(m > \dfrac{{13}}{8}\).\(m \le \dfrac{{13}}{8}\).\(0 < m < \dfrac{{13}}{8}\).87. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \({\log _2}({5^x} – 1).{\log _2}({2.5^x} – 2) \ge m\) có nghiệm \(x \ge 1\)?\(m \ge 6\).m > 6.\(m \le 6\).m < 6.88. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\log _3^2x + 2{\log _3}x + m – 1 = 0\) có nghiệm?m < 2.\(m \le 2\).\(m \ge 2\).m > 2.89. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \({\log _2}({5^x} – 1) \le m\) có nghiệm \(x \ge 1\)?\(m \ge 2\).m > 2.\(m \le 2\).m < 2.90. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\log _3^2x + \sqrt {\log _3^2x + 1} – 2m – 1 = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1;{3^{\sqrt 3 }}} \right]\)?\(m \in [0;2]\).\(m \in (0;2)\).\(m \in (0;2]\).\(m \in [0;2)\).91. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _2}\left( {{5^x} – 1} \right).lo{g_4}\left( {{{2.5}^x} – 2} \right) = m\) có nghiệm \(x \ge 1.\)?\(m \in \left[ {2; + \infty } \right)\).\(m \in \left[ {3; + \infty } \right)\).\(m \in ( – \infty ;2]\).\(m \in \left( { – \infty ;3} \right]\).92. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\log _3^2x – \left( {m + 2} \right){\log _3}x + 3m – 1 = 0\) có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn \({x_1}.{x_2} = 27.\)?m = – 2.m = – 1.m = 1.m = 2.93. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\sqrt {\log _2^2x + {{\log }_{\dfrac{1}{2}}}{x^2} – 3} = m\left( {{{\log }_4}{x^2} – 3} \right)\) có nghiệm thuộc \(\left[ {32; + \infty } \right)\) ?\(m \in \left( {1;\sqrt 3 } \right]\).$m \in \left[ {1;\sqrt 3 } \right)$.\(m \in \left[ { – 1;\sqrt 3 } \right)\).\(m \in \left( { – \sqrt 3 ;1} \right]\).94. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng \(\left( {2;3} \right)\) thuộc tập nghiệm của bất phương trình \({\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) > {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) – 1{\rm{ (1)}}\).\(m \in \left[ { – 12;13} \right]\).\(m \in \left[ {12;13} \right]\).\(m \in \left[ { – 13;12} \right]\).\(m \in \left[ { – 13; – 12} \right]\).95. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \({\log _2}\left( {7{x^2} + 7} \right) \ge {\log _2}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right),{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\)\(m \in \left( {2;5} \right]\).\(m \in \left( { – 2;5} \right]\).\(m \in \left[ {2;5} \right)\).\(m \in \left[ { – 2;5} \right)\).96. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \(1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\) có nghiệm đúng \(\forall x.\)\(m \in \left( {2;3} \right]\).\(m \in \left( { – 2;3} \right]\).\(m \in \left[ {2;3} \right)\).\(m \in \left[ { – 2;3} \right)\).


Đại Số 10 – Chương 4 – GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH (30 câu trắc nghiệm)


Nhiều phụ huynh và học sinh nhắn tin nhờ cô tư vấn chọn loại máy tính, ipad và apple pencil phù hợp để học online.
Sau nhiều năm sử dụng để học tập và giảng dạy cô tin dùng một số sản phẩm sau.
Các em tham khảo ở link dưới đây nhé: https://susu90.kol.eco
(ɔ◔‿◔)ɔ ♥(ɔ◔‿◔)ɔ ♥(ɔ◔‿◔)ɔ ♥
★ Nếu yêu thích bài giảng của cô, em có thể
2. Share video sau khi đã nhấn Subscribe, nhấn chuông để không bỏ lỡ bài học mới em nhé.

Related Articles

Back to top button