✓ tổng và hiệu của hai vectơ: lý thuyết và các dạng bài tập điển hình

Định nghĩa vectơ là gì? 

• Vectơ theo định nghĩa chính là một đoạn thẳng định hướng và có độ lớn xác định. 

• Vectơ có điểm đầu là (A), điểm cuối (B) là vectơ (AB), kí hiệu (overrightarrow{AB}). Khi không cần chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối vectơ còn được kí hiệu (overrightarrow{a},overrightarrow{b},dots)

Lý thuyết về tổng của hai vectơ

Cùng với chủ đề tích của vectơ với một số, những kiến thức trong chuyên đề tổng và hiệu của hai vectơ sẽ giúp bạn nắm được lý thuyết cũng như các dạng toán liên quan. 

Cho hai vectơ (overrightarrow{a};overrightarrow{b}). Lấy điểm A tùy ý, vẽ (overrightarrow{AB}=overrightarrow{a}), rồi từ điểm B vẽ (overrightarrow{BC}=overrightarrow{b}). Khi đó vectơ (overrightarrow{AC}) được gọi là tổng của hai vectơ (overrightarrow{a};overrightarrow{b}). Ta kí hiệu tổng của hai vectơ là (overrightarrow{AC}=overrightarrow{a}+overrightarrow{b})

Ta có các tính chất sau: 

• Tính chất giao hoán: (overrightarrow{a}+overrightarrow{b}=overrightarrow{b}+overrightarrow{a})

• Tính chất kết hợp: (left (overrightarrow{a}+overrightarrow{b} right )+overrightarrow{c}=overrightarrow{a}+left (overrightarrow{b}+overrightarrow{c} right ))

• Tính chất vectơ – không: (overrightarrow{a}+overrightarrow{0}=overrightarrow{0}+overrightarrow{a}=overrightarrow{a}).

Nếu ABCD là hình bình hành thì (overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD}=overrightarrow{AC}).

Ngoài ra ta còn có một số biểu thức vectơ khác nữa: 

• (overrightarrow{CA}=overrightarrow{CB}+overrightarrow{CD})

• (overrightarrow{BD}=overrightarrow{BA}+overrightarrow{BC})

• (overrightarrow{DB}=overrightarrow{DA}+overrightarrow{DC})

• Nếu N là trung điểm trên đoạn AB thì (overrightarrow{NA}+overrightarrow{NB}=overrightarrow{0})

• Cho N là trung điểm của đoạn thẳng AB, với M là một điểm bất kỳ ta luôn có: (overrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}=2overrightarrow{MN})

Lý thuyết về hiệu của hai vectơ 

Vectơ đối của vectơ (overrightarrow{AB}) là vectơ ngược hướng và có cùng độ dài với vectơ (overrightarrow{AB}). Kí hiệu là (-overrightarrow{AB}).

Chú ý: 

• (-overrightarrow{AB}=overrightarrow{BA}) (Vectơ đối của vectơ (overrightarrow{AB}) là vectơ (overrightarrow{BA}))

• (overrightarrow{AB}+left ( -overrightarrow{AB} right )=overrightarrow{0})

• Vectơ đối của vectơ (overrightarrow{0}) cũng là chính nó.

Cho hai vectơ (overrightarrow{a};overrightarrow{b}). Hiệu của hai vectơ (overrightarrow{a};overrightarrow{b}) là tổng của vectơ (overrightarrow{a}) và vectơ đối của vectơ (overrightarrow{b}). Kí hiệu là (overrightarrow{a}+left ( -overrightarrow{b} right )=overrightarrow{a}-overrightarrow{b})

Cho ba điểm O, A, B tùy ý, ta luôn có: 

• (overrightarrow{OB}-overrightarrow{OA}=overrightarrow{AB})(Qui tắc về hiệu của vectơ)

• (overrightarrow{OA}+overrightarrow{AB}=overrightarrow{OB})(Qui tắc ba điểm)

• Nếu G là trọng tâm của tam giác OAB thì (overrightarrow{GO}+overrightarrow{GA}+overrightarrow{GB}=overrightarrow{0})

Các dạng toán về tổng và hiệu của hai vectơ

Phương pháp giải: 

• Sử dụng định nghĩa về tổng và hiệu của các vectơ và các tính chất, quy tắc để xác định phép toán vectơ đó

• Dựa vào tính chất của hình học, sử dụng định lý Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để xác định độ dài vectơ đó.

Ví dụ 1: Cho tam giác (ABC) vuông tại (A) có (widehat{ABC}=30^circ) và (BC=asqrt5). Tính độ dài của các vectơ (overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC},overrightarrow{AC}-overrightarrow{BC}) và (overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC})

Cách giải:

Theo quy tắc ba điểm: 

• (overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC}=overrightarrow{AC})

Mà (sin{ABC}=frac{AC}{BC}) 

(Rightarrow AC=BC.sin{ABC}=asqrt5.sin{30^circ}=frac{asqrt5}{2})

Do đó (left | overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC} right |=left | overrightarrow{AC} right |=AC=frac{asqrt5}{2}) 

• (overrightarrow{AC}-overrightarrow{BC}= overrightarrow{AC}+overrightarrow{CB}=overrightarrow{AB})

Ta có: (AC^2+AB^2-BC^2Rightarrow AB=sqrt{BC^2-AC^2}=sqrt{5a^2-frac{5a^2}{4}}=frac{asqrt{15}}{2})

Vì vậy (left | overrightarrow{AC}-overrightarrow{BC} right |=left | overrightarrow{AB} right |=AB=frac{asqrt{15}}{2})

• Gọi (D) là điểm sao cho tứ giác (ABCD) là hình bình hành

Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có (overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}=overrightarrow{AD})

Vì tam giác (ABC) vuông ở (A) nên tứ giác (ABCD) là hình chữ nhật suy ra (AD=BC=asqrt5) 

Vậy (left | overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC} right |=left | overrightarrow{AD} right |=AD= asqrt5)

Ví dụ 2: Cho hình vuông (ABCD) có tâm là (O) và cạnh (a). (M) là một điểm bất kỳ.

1. Tính (left | overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD} right |,left | overrightarrow{OA}-overrightarrow{CB} right |,left | overrightarrow{CD}-overrightarrow{DA} right |)

2. Chứng minh rằng (overrightarrow{u}=overrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}-overrightarrow{MC}-overrightarrow{MD}) không phụ thuộc vị trí điểm (M). Tính độ dài vectơ (overrightarrow{u})

Cách giải: 

1. Theo quy tắc hình bình hành ta có: (overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD}=overrightarrow{AC})

Suy ra (left |overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD} right |=left |overrightarrow{AC} right |=AC)

Áp dụng định lý Pitago ta có: 

(AC^2=AB^2+BC^2=2a^2Rightarrow AC=asqrt2)

Vậy (left |overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD} right |=asqrt2)

Vì O là tâm của hình vuông nên (overrightarrow{OA}=overrightarrow{CO}) suy ra (overrightarrow{OA}-overrightarrow{CB}=overrightarrow{CO}-overrightarrow{CB}=overrightarrow{BC})

Vậy (left |overrightarrow{OA}-overrightarrow{CB} right |=left |overrightarrow{BC} right |=a)

Do (ABCD) là hình vuông nên (overrightarrow{CD}=overrightarrow{BA}) suy ra (overrightarrow{CD}-overrightarrow{DA}=overrightarrow{BA}+overrightarrow{AD}=overrightarrow{BD})

Mà (left |overrightarrow{BD} right |=BD=sqrt{AB^2+AD^2}=asqrt2) suy ra

(left |overrightarrow{CD}-overrightarrow{DA} right |=asqrt2)

    2. Theo qui tắc phép trừ ta có: 

(overrightarrow{u}=overrightarrow{MA}-overrightarrow{MC}+overrightarrow{MB}-overrightarrow{MD}=overrightarrow{CA}+overrightarrow{DB})

Suy ra (overrightarrow{u}) không phụ thuộc vị trí điểm (M).

Qua (A) kẻ đường thẳng song song với (DB) cắt (BC) tại (C’).

Khi đó tứ giác (ADBC’) là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song)

Suy ra (overrightarrow{DB}=overrightarrow{AC’}) 

Do đó (overrightarrow{u}=overrightarrow{CA}+overrightarrow{AC’}=overrightarrow{CC’})

Vì vậy (left |overrightarrow{u} right |=left |overrightarrow{CC’} right |=BC+BC’=a+a=2a) 

Phương pháp giải: Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có các cách biến đổi: Vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lượng trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt các quy tắc vectơ.

Ví dụ 1: Cho năm điểm (A,B,C,D,E). Chứng minh rằng: 

1. (overrightarrow{AB}+overrightarrow{CD}+overrightarrow{EA}=overrightarrow{CB}+overrightarrow{ED})

2. (overrightarrow{AC}+overrightarrow{CD}-overrightarrow{EC}=overrightarrow{AE}-overrightarrow{DB}+overrightarrow{CB})

Cách giải:

1. Biến đổi vế trái ta có: 

(begin{align}nonumber VT&=overrightarrow{AC}+overrightarrow{CB}+overrightarrow{CD}+overrightarrow{ED}+overrightarrow{DA}\ nonumber&=overrightarrow{CB}+overrightarrow{ED}+overrightarrow{AC}+overrightarrow{CD}+overrightarrow{DA}\ nonumber&=overrightarrow{CB}+overrightarrow{ED}+overrightarrow{AD}+overrightarrow{DA}\ nonumber&=overrightarrow{CB}+overrightarrow{ED}=VP end{align}) (ĐPCM)

    2. Đẳng thức tương đương với

(overrightarrow{AC}-overrightarrow{AE}+overrightarrow{CD}-overrightarrow{CB}-overrightarrow{EC}+overrightarrow{DB}=overrightarrow{0}\ Leftrightarrowoverrightarrow{EC}+overrightarrow{BD}-overrightarrow{EC}+overrightarrow{DB}=overrightarrow{0}\ overrightarrow{BD}+overrightarrow{DB}=overrightarrow{0}) (đúng) ĐPCM.

Ví dụ 2: Cho hình bình hành (ABCD) tâm O. M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: 

1. (overrightarrow{BA}+overrightarrow{DA}+overrightarrow{AC}=overrightarrow{0})

2. (overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}+overrightarrow{OD}=overrightarrow{0})

3. (overrightarrow{MA}+overrightarrow{MC}=overrightarrow{MB}+overrightarrow{OD})

Cách giải: 

1. Ta có: 

(overrightarrow{BA}+overrightarrow{DA}+overrightarrow{AC}=-overrightarrow{AB}-overrightarrow{AD}+overrightarrow{AC}\ =-left (overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD} right )+overrightarrow{AC})

Theo quy tắc hình bình hành ta có (overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD}=overrightarrow{AC}) suy ra: 

(overrightarrow{BA}+overrightarrow{DA}+overrightarrow{AC}=-overrightarrow{AC}+overrightarrow{AC}=overrightarrow{0})

     2. Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: (overrightarrow{OA}=overrightarrow{CO}Rightarrowoverrightarrow{OA}+overrightarrow{OC}=overrightarrow{CO}+overrightarrow{OC}=overrightarrow{0})

Tương tự: (overrightarrow{OB}+overrightarrow{OD}=overrightarrow{0}Rightarrowoverrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}+overrightarrow{OD}=overrightarrow{0})

     3. Vì ABCD là hình bình hành nên: 

(overrightarrow{AB}=overrightarrow{DC}Rightarrowoverrightarrow{BA}+overrightarrow{DC}=overrightarrow{BA}+overrightarrow{AB}=overrightarrow{0}\ begin{align}nonumberRightarrowoverrightarrow{MA}+overrightarrow{MC}&=overrightarrow{MB}+overrightarrow{BA}+overrightarrow{MD}+overrightarrow{DC}\ nonumber&=overrightarrow{MB}+overrightarrow{MD}+overrightarrow{BA}+overrightarrow{DC}\ nonumber&=overrightarrow{MB}+overrightarrow{MD} end{align}) (ĐPCM).

Ví dụ 3: Cho tam giác (ABC). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng: 

1. (overrightarrow{BM}+overrightarrow{CN}+overrightarrow{AP}=overrightarrow{0})

2. (overrightarrow{AP}+overrightarrow{AN}-overrightarrow{AC}+overrightarrow{BM}=overrightarrow{0})

3. (overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}=overrightarrow{OM}+overrightarrow{ON}+overrightarrow{OP}) với điểm O bất kì

Cách giải:

1. Vì PN, MN là đường trung bình của tam giác ABC nên (PNparallel BM, MNparallel BP) suy ra tứ giác BMNP là hình bình hành

(Rightarrowoverrightarrow{BM}=overrightarrow{PN})

N là trung điểm của (ACRightarrowoverrightarrow{CN}=overrightarrow{NA})

Do đó theo quy tắc ba điểm ta có:

(overrightarrow{BM}+overrightarrow{CN}+overrightarrow{AP}=overrightarrow{PN}+overrightarrow{NA}+overrightarrow{AP}\ =overrightarrow{PA}+overrightarrow{AP}=overrightarrow{0})

     2. Vì tứ giác APMN là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có (overrightarrow{AP}+overrightarrow{AN}=overrightarrow{AM}) kết hợp với quy tắc trừ

(Rightarrowoverrightarrow{AP}+overrightarrow{AN}-overrightarrow{AC}+overrightarrow{BM}=overrightarrow{AM}-overrightarrow{AC}+overrightarrow{BM}=overrightarrow{CM}+overrightarrow{BM})

Mà (overrightarrow{CM}+overrightarrow{BM}=overrightarrow{0}) do M là trung điểm của BC.

Vậy (overrightarrow{AP}+overrightarrow{AN}-overrightarrow{AC}+overrightarrow{BM}=overrightarrow{0})

     3. Theo quy tắc ba điểm ta có: 

(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}=overrightarrow{OP}+overrightarrow{PA}+overrightarrow{OM}+overrightarrow{MB}+overrightarrow{ON}+overrightarrow{NC}\ =overrightarrow{OM}+overrightarrow{ON}+overrightarrow{OP}+overrightarrow{PA}+overrightarrow{MB}+overrightarrow{NC}\ =overrightarrow{OM}+overrightarrow{ON}+overrightarrow{OP}-overrightarrow{BM}+overrightarrow{CN}+overrightarrow{AP})

Theo câu 1) ta có (overrightarrow{BM}+overrightarrow{CN}+overrightarrow{AP}=overrightarrow{0}) suy ra (overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}=overrightarrow{OM}+overrightarrow{ON}+overrightarrow{OP})

Phương pháp giải: 

Bài viết trên đây của Tip.edu.vn đã cung cấp đến bạn những thông tin hữu ích về chủ đề tổng và hiệu của hai vectơ. Với những kiến thức trong bài viết, hy vọng đã mang lại cho bạn những lời giải ý nghĩa. Nếu có bất cứ thắc mắc hay câu hỏi nào liên quan đến chủ đề tổng và hiệu của hai vectơ, đừng quên để lại ở nhận xét bên dưới nhé. Chúc bạn luôn học tập tốt!.

Xem thêm:

• Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng
• Chuyên đề Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
• Viết phương trình đường tròn qua phép tịnh tiến theo vecto
• Tích vô hướng của hai vectơ: Một số dạng bài tập và Ứng dụng
• Công thức SIN COS – Bảng công thức lượng giác cơ bản và nâng cao
• Đường elip là gì? Phương trình elip là gì? Tìm hiểu phương trình đường elip
• Trục tọa độ và Hệ trục tọa độ: Tổng hợp Lý thuyết và Các dạng bài tập

Xem chi tiết về chuyên đề Tổng và hiệu của hai vectơ qua bài giảng dưới đây nhé:

(Nguồn: www.youtube.com)