Giáo Dục

Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng

Viết phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng cho trước.

 

  • $(i)$      Đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$ có hệ số góc là $k$.

  • $(ii)$    Hệ số góc của tiếp tuyến $\Delta$ của hàm số $y=f\left( x \right)$  tại điểm $x_0$ là $f’\left( {{x_0}} \right)$.

  • $(iii)$     Hai đường thẳng song song nhau khi có cùng hệ số góc.

  • $(iv)$    Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của hàm số $y=f\left( x \right)$  tại điểm

    $M_0(x_0;y_0)$

     

    $$y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}.\;\;$$

 

Bài toán.

Viết phương trình tiếp tuyến $(\Delta)$ của đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ song song với đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$.

Giải. Gọi $M_0(x_0;y_0)$ là tiếp điểm. Từ $(i)$ và $(ii)$ ta có hệ số góc của $\Delta$ và $d$  lần lượt là

$f’\left( {{x_0}} \right)$ và 

$k$.

Vì $\Delta \parallel d$ nên theo 

$(iii)$ ta có

$f’\left(
{{x_0}} \right) = k$.

Từ đây ta có $x_0$ là nghiệm của phương trình 

$f’\left( {{x}} \right) = k$.

Từ đây ta có các bước để viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ song song với đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$ như sau:
 

 
 

Bước 1. Giải phương trình 

$f’\left( {{x}} \right) = k$

, nghiệm $x_0$ của phương trình là hoành độ của tiếp điểm. 
Bước 2. Tính ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$ để được tiếp điểm $M_0(x_0;y_0)$. 
Bước 3. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M_0(x_0;y_0)$ theo mệnh đề 

$(iv)$.

 

Ví dụ 1. 

Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số $(C): y = {x^2} – 2x – 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left( d \right):y = 2x – 1$.

Xem thêm :  Tổng kết từ vựng (tiếp)

 

 

 Giải. Bước 1. Ta có $f\left( x \right) = {x^2} – 2x – 1 \Rightarrow f’\left( x \right) = 2x – 2.$ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình $$f’\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow 2x – 2 = 2 \Leftrightarrow x = 2.$$

Bước 2. Thay $x_0=2$ vào phương trình của $(C)$ ta được $y_0=-1$. Suy ra tiếp điểm là ${M_0}\left( {2; – 1} \right).$

Bước 3. Ta có $f’\left( {{x_0}} \right) = 2$. Phương trình tiếp tuyến tại ${M_0}\left( {2; – 1} \right)$ là 
$$y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = 2\left( {x – 2} \right) – 1 \Leftrightarrow y = 2x – 5.$$

Ví dụ 2.

Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số $\left( C \right): y = {x^3} + 3x – 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left( d \right):y = 6x – 1$.
 

 

Giải. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình

 $$f’\left( x \right) = 6 \Leftrightarrow 3{x^2} + 3 = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = 1 \Rightarrow {y_1} = f\left( 1 \right) = 3\\
{x_2} =  – 1 \Rightarrow {y_2} = f\left( 1 \right) =  – 5 \end{array} \right.$$
Vậy có hai tiếp điểm là ${M_1}\left( {1;3} \right),{M_2}\left( { – 1; – 5} \right)$.
Phương trình tiếp tuyến tại ${M_1}\left( {1;3} \right)$ là $$\left( {{\Delta_1}} \right):\;\;\;\;y = 6\left( {x – {x_1}} \right) + {y_1} \Leftrightarrow y = 6\left( {x – 1} \right) + 3 \Leftrightarrow y = 6x – 3.$$
Phương trình tiếp tuyến tại ${M_2}\left( { – 1; – 5} \right)$ là $$\left( {{\Delta_2}} \right):\;\;\;\;y = 6\left( {x – {x_2}} \right) + {y_2} \Leftrightarrow y = 6\left( {x + 1} \right) – 5 \Leftrightarrow y = 6x + 1.$$

Những mệnh đều sau đây sẽ được dùng.Viết phương trình tiếp tuyến $(\Delta)$ của đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ song song với đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$.Giải. Gọi $M_0(x_0;y_0)$ là tiếp điểm. Từ $(i)$ và $(ii)$ ta có hệ số góc của $\Delta$ và $d$ lần lượt là$k$.Từ đây ta có các bước để viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ song song với đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$ như sau:Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số $(C): y = {x^2} – 2x – 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left( d \right):y = 2x – 1$.Bước 2. Thay $x_0=2$ vào phương trình của $(C)$ ta được $y_0=-1$. Suy ra tiếp điểm là ${M_0}\left( {2; – 1} \right).$Bước 3. Ta có $f’\left( {{x_0}} \right) = 2$. Phương trình tiếp tuyến tại ${M_0}\left( {2; – 1} \right)$ là$$y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = 2\left( {x – 2} \right) – 1 \Leftrightarrow y = 2x – 5.$$Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số $\left( C \right): y = {x^3} + 3x – 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left( d \right):y = 6x – 1$.

Xem thêm :  Soạn bài "tuyên bố thế giới về sự sống còn, quyền được bảo .........."


Viết phương trình tiết tuyến song song với một đường thẳng (VD2)


Xem bài giảng chi tiết tại: http://cunghoctoan.net/toantrunghocphothong/khaosathamso/phuongtrinhtieptuyensongsongvoimotduongthang191.html

Related Articles

Back to top button